Cho tam giác AHB có góc H bằng 90 độ, góc A bằng 30 độ và BH = 4cm

Giải SBT Toán 9 Ôn tập chương III

Bài 78 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2:Cho tam giác AHB có $\widehat{H}={90}^o$,  $\widehat{A}={30}^o$ và BH = 4cm. Tia phân giác góc B cắt AH tại O. Vẽ đường tròn (O; OH) và đường tròn (O; OA)

a) Chứng minh đường tròn (O; OH) tiếp xúc với cạnh AB

b) Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn trên.

Lời giải:

a)

Kẻ OK vuông góc với AB tại K

Vì BO là đường phân giác của góc B (gt)

 $\Rightarrow OK=OH$ (tính chất đường phân giác)

Do đó, OK cũng là bán kính của đường tròn (O; OH)

Vậy đường tròn (O; OH) tiếp xúc với AB tại K

b)

Xét tam giác AHB vuông tại H có:

$\widehat{A}={30}^o$

$\Rightarrow \widehat{B}={60}^o$

 $\Rightarrow \widehat{ABO}=\frac{1}{2}\widehat{B}={30}^o$(do BO là đường phân giác)

Xét tam giác OAB có:

$\widehat{A}=\widehat{ABO}={30}^o$

Do đó, tam giác OAB cân tại O

 $\Rightarrow$OB = OA

Do đó, B thuộc (O; OA)

Xét tam giác BHO vuông tại O có:

$\widehat{OBH}=\frac{1}{2}\widehat{B}={30}^o$(do BO là đường phân giác)

 $OH=BH.\tan {30}^o=4.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$(cm)

 $OB=\frac{BH}{\cos \widehat{OBH}}=\frac{4}{cos{30}^o}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$(cm)

Diện tích đường tròn nhỏ là: $S_1=\pi .{\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{16\pi }{3}\left(c{m}^2\right)$

Diện tích đường tròn lớn là: $S_2=\pi .{\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{64\pi }{3}\left(c{m}^2\right)$

Diện tích hình vành khăn là: $S=S_2-S_1=\frac{64\pi }{3}-\frac{16\pi }{3}=16\pi \left(c{m}^2\right)$