Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M ở ngoài

Giải SBT Toán 9 Ôn tập chương III

Bài III.2 trang 115 SBT Toán 9 Tập 2:Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M ở ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD với đường tròn (O), trong đó điểm C ở giữa hai điểm M, D. Đường thẳng qua điểm C và vuông góc với OA cắt AB tại H. Gọi I là trung điểm của dây CD. Chứng minh HI song song với AD.

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có

MA vuông góc với OA tại A (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \widehat{MAO}={90}^o$

MB vuông góc với OB tại B (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \widehat{MBO}={90}^o$

Lại có I là trung điểm của dây CD (gt) nên IC = ID

Do đó, OI vuông góc với CD (đường kính đi qua điểm chính giữa của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

$\Rightarrow \widehat{MIO}={90}^o$

Từ đó, A, B, I nhìn MO cố định dưới một góc bằng nên A, B, I nằm trên đường tròn bán kính MO

 $\Rightarrow \widehat{AMI}=\widehat{ABI}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AOI)

Lại có:  $CH\perp AO$(gt) mà MA $\perp$OA (cmt)

Do đó, CH // MA

 $\Rightarrow \widehat{AMI}=\widehat{HCI}$ (hai góc đồng vị)

Mà  $\widehat{AMI}=\widehat{ABI}$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{HCI}=\widehat{ABI}$

$\Rightarrow \widehat{HCI}=\widehat{HBI}$

Do đó, B và C cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường HI tạo với HI một góc bằng nhua nên tứ giác BCHI nội tiếp.

 $\Rightarrow \widehat{CBH}=\widehat{CIH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CH)

 $\Rightarrow \widehat{CBA}=\widehat{CIH}$ (1)

Xét đường tròn (O) ta có:

 $\widehat{CBA}=\widehat{CDA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AC) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{CIH}=\widehat{CDA}$nên HI // AD (do có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)