Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x^3 − 2x^2 +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C)

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Đạo hàm

Bài 4 trang 39 SBT Toán 11 Tập 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x³ − 2x² +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) Song song với đường thẳng y = −x + 2;

b) Vuông góc với đường thẳng $y=-\frac{1}{4}x-4$;

c) Đi qua điểm A(0; 1).

Lời giải:

Ta có $y^{\text{'}}=(x^3-2x^2+1{)}^{\text{'}}=3x^2-2.2x=3x^2-4x$.

a) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M₀(x₀; y₀) là tiếp điểm của (C) và d₁.

Vì d₁ song song với đường thẳng y = −x + 2 nên $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=-1$.

Suy ra $3x_0^2-4x_0=-1\iff 3x_0^2-4x_0+1=0\iff x_0=1$ hoặc $x_0=\frac{1}{3}$.

− Với $x_0=1$, phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0\left(1;0\right)$ có hệ số góc $y^{\text{'}}\left(1\right)=-1$ là:

$y-y_0=y^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

$\iff y-0=-1\left(x-1\right)$$\iff y=-x+1$.

− Với $x_0=\frac{1}{3}$, phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0\left(\frac{1}{3};\frac{22}{27}\right)$ có hệ số góc $y^{\text{'}}\left(\frac{1}{3}\right)=-1$ là:

$y-y\left(\frac{1}{3}\right)=y^{\text{'}}\left(\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$

$\iff y-\frac{22}{27}=-1\left(x-\frac{1}{3}\right)$

$\iff y=-x+\frac{31}{27}$

Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là: $d_1:y=-x+1$ và $d_2:y=-x+\frac{31}{27}$.

b) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M₀(x₀; y₀) là tiếp điểm của (C) và d₁.

Vì d₁ vuông góc với đường thẳng $y=-\frac{1}{4}x-4$ nên $y^{\text{'}}\left(x_0\right).\left(-\frac{1}{4}\right)=-1\iff y^{\text{'}}\left(x_0\right)=4$.

Suy ra $3x_0^2-4x_0=4\iff 3x_0^2-4x_0-4=0\iff x_0=2$ hoặc $x_0=-\frac{2}{3}$.

− Với $x_0=2$, phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0\left(2;1\right)$ có hệ số góc $y^{\text{'}}\left(2\right)=4$ là:

$y-y_0=y^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

$\iff y-1=4\left(x-2\right)$

$\iff y=4x-7$.

− Với $x_0=-\frac{2}{3}$, phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0\left(-\frac{2}{3};-\frac{5}{27}\right)$ có hệ số góc $y^{\text{'}}\left(-\frac{2}{3}\right)=4$ là:

$y-y\left(-\frac{2}{3}\right)=y^{\text{'}}\left(-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$

$\iff y-\left(-\frac{5}{27}\right)=4\left(x+\frac{2}{3}\right)$

$\iff y=4x+\frac{67}{27}$

Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là: $d_1:y=4x+9$ và $d_2:y=4x+\frac{67}{27}$.

c) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) đi qua điểm A(0; 1) tại tiếp điểm M(x₀;f(x₀)).

Phương trình tiếp tuyến d₁ của (C) có dạng:

$y-y_0=y^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

$\iff y=y^{\text{'}}\left(x_0\right)x+y_0-y^{\text{'}}\left(x_0\right)x_0$

$\iff y=\left(3{x_0}^2-4x_0\right)x+({x_0}^3-2{x_0}^2+1)-\left(3{x_0}^2-4x_0\right)x_0$

$\iff y=\left(3{x_0}^2-4x_0\right)x+\left(-2{x_0}^3+2{x_0}^2+1\right)$

Vì d₁ đi qua điểm A(0; 1) nên

$1=\left(3{x_0}^2-4x_0\right).0+\left(-2{x_0}^3+2{x_0}^2+1\right)$

$\iff 1=-2{x_0}^3+2{x_0}^2+1$

$\iff 0=-2{x_0}^3+2{x_0}^2$

$\iff x_0=1$ ; $x_0=0$

− Với $x_0=1$, phương trình đường thẳng d₁ là:

$y=\left({3.1}^2-4.1\right)x+1=-x+1$.

− Với $x_0=0$, phương trình đường thẳng d₁ là:

$y=\left({3.0}^2-4.0\right)x+1=1$.

Vậy tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1) là: $d_1:y=-x+1$ và $d_2:y=1$.