Giải Toán 7 trang 84 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 7 trang 84 Tập 1

Bài 4.23 trang 84 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Lời giải:

GT	$\Delta ABC$cân tại A, $BE\perp AC,CF\perp AB.$
KL	BE = CF.

Chứng minh (hình vẽ trên):

Tam giác ABC cân tại A (theo giả thiết) nên AB = AC (định nghĩa tam giác cân).

Vì $BE\perp AC$ (theo giả thiết) nên $\widehat{AEB}=90°$, do đó tam giác AEB vuông tại E.

Vì $CF\perp AB$ (theo giả thiết) nên $\widehat{AFC}=90°$, do đó tam giác AFC vuông tại F.

Xét tam giác AEB (vuông tại E) và tam giác AFC (vuông tại F) có:

AB = AC (chứng minh trên);

$\widehat{BAC}$ là góc chung.

Vậy $\Delta AEB=\Delta AFC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BE = CF (hai cạnh tương ứng).

Vậy BE = CF.

Bài 4.24 trang 84 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Lời giải:

GT	$\Delta ABC$ cân tại A, M là trung điểm BC.
KL	$AM\perp BC$ và AM là tia phân giác của góc BAC.

Chứng minh (hình vẽ trên):

Tam giác ABC cân tại A (theo giả thiết) nên AB = AC (định nghĩa tam giác cân).

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (chứng minh trên);

BM = CM (do M là trung điểm của BC);

AM là cạnh chung.

Vậy $\Delta ABM=\Delta ACM$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng).

Mà góc AMB và góc AMC là hai góc kề bù nên ta có $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (tính chất hai góc kề bù).

Do đó $\widehat{AMB}+\widehat{AMB}=180°$.

$2.\widehat{AMB}=180°$

$\widehat{AMB}=90°$ 

Suy ra $AM\perp BC.$ 

Từ $\Delta ABM=\Delta ACM$ (chứng minh trên), suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (hai góc tương ứng).

Do đó AM là tia phân giác của góc BAC.

Bài 4.25 trang 84 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

a)

GT	$\Delta ABC$, M là trung điểm BC, $AM\perp BC$.
KL	$\Delta ABC$cân tại A.

Vì M là trung điểm của BC và $AM\perp BC$(theo giả thiết) nên đường thẳng AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Điểm A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên AB = AC (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).

Do đó tam giác ABC cân tại A (định nghĩa tam giác cân).

b)

GT	$\Delta ABC$, M là trung điểm BC; AM là tia phân giác của góc BAC.
KL	$\Delta ABC$cân tại A.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

Xét tam giác DBM và tam giác ACM có:

BM = CM (do M là trung điểm của BC);

$\widehat{DMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc đối đỉnh);

MD = MA (theo cách vẽ).

Vậy $\Delta DBM=\Delta ACM$ (c.g.c).

Suy ra DB = AC (hai cạnh tương ứng)       .         (1)

Và $\widehat{BDM}=\widehat{CAM}$ (hai góc tướng ứng).

Mà $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$(doAM là tia phân giác của góc BAC).

Do đó $\widehat{BDM}=\widehat{BAM}\left(=\widehat{CAM}\right)$.

Hay $\widehat{BDA}=\widehat{BAD}$ suy ra tam giác ABD cân tại B.

Suy ra AB = DB (định nghĩa tam giác cân).         (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC.

Do đó tam giác ABC cân tại A (định nghĩa tam giác cân).

Bài 4.26 trang 84 Toán 7 Tập 1: Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45^o;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45^o là tam giác vuông cân.

Lời giải:

a)

GT	$\Delta ABC$ là tam giác vuông cân; $\widehat{A}=90°.$
KL	$\Delta ABC$ cân tại A.

Tam giác ABC vuông tại A nên hai góc nhọn của tam giác phụ nhau suy ra $\widehat{B}+\widehat{C}=90°.$ 

Khi đó số đo của góc B và góc C sẽ nhỏ hơn 90°.

+) Nếu tam giác ABC cân tại B nên $\widehat{A}=\widehat{C}$ (tính chất tam giác cân).

Mà $\widehat{A}=90°$ nên $\widehat{C}=90°$ (vô lí vì $\widehat{C}<90°$)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A thì không thể cân tại B.

+) Nếu tam giác ABC cân tại C nên $\widehat{A}=\widehat{B}$ (tính chất tam giác cân).

Mà $\widehat{A}=90°$ nên $\widehat{B}=90°$ (vô lí vì $\widehat{B}<90°$)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A thì không thể cân tại C.

Do vậy tam giác ABC vuông tại A và cân tại A.

b)

GT	$\Delta ABC$ là tam giác vuông cân.
KL	Hai góc nhọn bằng 45°.

Tam giác ABC vuông cân nên tam giác ABC cân tại đỉnh A (theo câu a).

Suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}$ (tính chất tam giác cân).

Mà trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên ta có: $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$.

Do đó $\widehat{B}+\widehat{B}=90°$ 

$2\widehat{B}=90°$

$\widehat{B}=45°.$ 

Khi đó $\widehat{B}=\widehat{C}=45°.$

c)

GT	$\Delta ABC$vuông tại A, $\widehat{B}=45°.$
KL	$\Delta ABC$ là tam giác vuông cân.

Tam giác ABC vuông tại A (theo giả thiết) nên hai góc nhọn phụ nhau.

Do đó $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$

Suy ra $\widehat{C}=90°-\widehat{B}$ 

$\widehat{C}=90°-45°$ 

$\widehat{C}=45°$

Khi đó $\widehat{B}=\widehat{C}=45°,$ suy ra tam giác ABC cân tại A.

Mà tam giác ABC vuông tại A nên tam giác ABC vuông cân tại A.

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. 

Bài 4.27 trang 84 Toán 7 Tập 1: Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB?

Lời giải:

Quan sát hình vẽ ta thấy đường kẻ ngang vuông góc với đường kẻ dọc. Khi đó trong 4 đường thẳng d, u, m, n thì có ba đường thẳng d, m và n vuông góc với đoạn thẳng AB.

Trong hình vẽ, đoạn thẳng AB được chia làm 6 đoạn thẳng bằng nhau.

Do đó trung điểm của AB là điểm nằm trên đoạn thẳng AB và cách A (cách B) 3 đoạn thẳng nhỏ.

Vì vậy chỉ có đường thẳng m thoả mãn điều kiện vuông góc với đoạn thẳng AB và đi qua trung điểm của AB, khi đó đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vậy trong các đường thẳng trên hình vẽ, đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 4.28 trang 84 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lời giải:

GT	$\Delta ABC$ cân tại A, đường cao AD.
KL	AD là đường trung trực của BC.

Chứng minh (hình vẽ trên):

Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90°$.

Khi đó tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.

Xét tam giác ABD (vuông tại D) và tam giác (ACD vuông tại D) ta có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A);

AD là cạnh chung.

Vậy $\Delta ABD=\Delta ACD$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra DB = DC (hai cạnh tương ứng).

Do đó D là trung điểm của BC.

Khi đó đường thẳng AD vuông góc với đoạn thẳng BC tại trung điểm D của BC nên AD là đường trung trực của BC.