Giải Toán 12 trang 16 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 16 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) $f(x)=2x^3-9x^2+12x+1$ trên đoạn [0;3]

b) $g(x)=x+\frac{1}{x}$ trên khoảng (0;5)

c) $h(x)=x\sqrt{2-x^2}$

Lời giải:

a) Xét $f(x)=2x^3-9x^2+12x+1$ trên đoạn [0;3]

$f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12=0\iff [\begin{array}{l}x=2\\ x=1\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[0;3]}{min}f(x)=f(0)=1$ và $\underset{[0;3]}{max}f(x)=f(3)=10$

b) Xét $g(x)=x+\frac{1}{x}$ trên khoảng (0;5)

$g^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-1(loai)\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{(0;5)}{min}f(x)=f(1)=2$ và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5)

c) Xét $h(x)=x\sqrt{2-x^2}$

Tập xác định: $D=[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

$h^{\prime }(x)=\sqrt{2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}}$

Tập xác định mới: $D_1=(-\sqrt{2};\sqrt{2})$

$h^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{D}{min}f(x)=f(-1)=-1$ và $\underset{D}{max}f(x)=f(1)=1$

Vận dụng trang 16 Toán 12 Tập 1: Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 14).

Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t $\ge$ 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)

$y(t)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$

Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?

(Theo: https://www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization _of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)

Lời giải:

Xét $y(t)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$ trên nửa đoạn $[0;+\mathrm{\infty })$

$y^{\prime }(t)=\frac{135t^2-15}{{(9t^2+1)}^2}=0\iff [\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ x=-\frac{1}{3}(loai)\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[0;+\mathrm{\infty })}{min}y(t)=y(\frac{1}{3})=-\frac{5}{2}$ và $\underset{[0;+\mathrm{\infty })}{max}y(t)=y(0)=5$

Vậy vào các thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và t = $\frac{1}{3}$ giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn