Giải Toán 11 trang 40 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11trang 40 Tập 1

Bài 1 trang 40 Toán 11 Tập 1:Giải phương trình:

a) sin$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) sin$\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$;

c) cos$\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

d) 2cos3x + 5 = 3;

e) 3tanx = -$\sqrt{3}$;

g) cotx - 3 = $\sqrt{3}$(1-cotx).

Lời giải:

a) sin$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff$sin$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ = sin$\left(-\frac{\pi }{3}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=k$\pi$ và x=$\frac{5\pi }{6}$+k$\pi$ với k ∈ ℤ.

b) sin$\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$

$\iff$ sin$\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$ = sin$\left(-\frac{\pi }{6}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}$ và x = $\frac{11\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}$ với k ∈ ℤ.

c) cos$\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff$cos$\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)$ = cos$\frac{\pi }{6}$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{\pi }{6}$+k4$\pi$ và x=$-\frac{5\pi }{6}+k4\pi$ với k ∈ ℤ.

d) 2cos3x + 5 = 3

$\iff$ cos3x = ‒1

$\iff$ 3x = π + k2π (k ∈ ℤ)

$\iff$ x = $\frac{\pi }{3}$+k$\frac{2\pi }{3}$(k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $\frac{\pi }{3}$+k$\frac{2\pi }{3}$ với k ∈ ℤ.

e) 3tanx = -$\sqrt{3}$

$\iff$ tanx = $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\iff$ tanx = tan$\left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff$ x = $-\frac{\pi }{6}$ + k$\pi$ (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{\pi }{6}$ + k$\pi$ với k ∈ ℤ.

g) cotx - 3 = $\sqrt{3}$(1-cotx)

$\iff$ cotx - 3 = $\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cotx

$\iff$ (1+$\sqrt{3}$)cotx = $\sqrt{3}$+3

$\iff$ cotx = $\frac{\sqrt{3}\left(1+\sqrt{3}\right)}{1+\sqrt{3}}$

$\iff$ cotx = $\sqrt{3}$

$\iff$ cotx = cot$\frac{\pi }{6}$

$\iff$ x = $\frac{\pi }{6}$+k$\pi$ (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $\frac{\pi }{6}$+k$\pi$ với k ∈ ℤ.

Bài 2 trang 40 Toán 11 Tập 1:Giải phương trình:

a) sin$\left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ = sinx;

b) sin2x = cos3x;

c) ${\cos }^{2}2x={\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ .

Lời giải:

a) sin$\left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ = sinx

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{\pi }{4}$+k2$\pi$ và x=$-\frac{\pi }{12}$+k$\frac{2\pi }{3}$ với k ∈ ℤ.

b) sin2x = cos3x

$\iff$cos$\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$ = cos3x

$\iff$ cos3x = cos$\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}$ và $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ với k ∈ ℤ.

c) ${\cos }^{2}2x={\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $\frac{\pi }{6}$+k$\pi$ và x = -$\frac{\pi }{18}$+k$\frac{\pi }{3}$ với k ∈ ℤ.

Bài 3 trang 40 Toán 11 Tập 1:Dùng đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx để xác định số nghiệm của phương trình:

a) 3sinx + 2 = 0 trên khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$ ;

b) cosx = 0 trên đoạn  .

Lời giải:

a) Ta có: 3sinx + 2 = 0

$\iff$sinx = -$\frac{2}{3}$.

Đường thẳng y = -$\frac{2}{3}$ và đồ thị hàm số y = sinx trên khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$ được vẽ như sau:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = -$\frac{2}{3}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx trên khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$ tại 5 điểm A, B, C, D, E.

Vậy phương trình 3sinx + 2 = 0 có 5 nghiệm trên khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$.

b) Đường thẳng y = 0 (trục Ox) và đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn  được vẽ như sau:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn  tại 6 điểm M, N, P, Q, I, K.

Vậy phương trình cosx = 0 có 6 nghiệm trên đoạn .

Bài 4 trang 40 Toán 11 Tập 1:Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ40° Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số d(t) = 3sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$+12 với t ∈ℤ và 0 < t ≤ 365.

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020)

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?

Lời giải:

a) Để thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

3sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$+12 = 12

$\iff$ sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$ = 0

$\iff$ $\frac{\pi }{182}$(t-80) = k$\pi$ (k$\in$Z)

$\iff$ t - 80 = 182k (k$\in$Z)

$\iff$ t = 80+182k (k$\in$Z).

Do t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365 nên ta có:

Với k = 0 thì t = 80 + 182.0 = 80;

Với k = 1 thì t = 80 + 182.1 = 262.

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

b) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

3sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$+12 = 9

$\iff$ sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$ = -1

$\iff$ $\frac{\pi }{182}$(t-80) = -$\frac{\pi }{2}$ + k2$\pi$ (k$\in$Z)

$\iff$ t - 80 = -91+364k (k$\in$Z)

$\iff$ t = -11+364k (k$\in$Z)

Do t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365 nên ta có:

Với k = 1 thì t = ‒11 + 364.1 = 353.

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

c) Để thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

3sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$+12 = 15

$\iff$ sin$\left(\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right)$ = 1

$\iff$ $\frac{\pi }{182}$(t-80) = $\frac{\pi }{2}$ + k2$\pi$ (k$\in$Z)

$\iff$ t - 80 = 91+364k (k$\in$Z)

$\iff$ t = 171+364k (k$\in$Z)

Do t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365 nên ta có:

Với k = 0 thì t = 171 + 364.0 = 171.

Vậy thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171 trong năm.

Bài 5 trang 40 Toán 11 Tập 1:Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 38). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) (với t ≥ 0) bởi hệ thức h = |d| với d = 3cos$\left(\frac{\pi }{3}\left(2t-1\right)\right)$, trong đó ta quy ước d > 0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian t nào thì khoảng cách h là 3 m, 0 m?

Lời giải:

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 3 m thì:

Do t ≥ 0, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}

Khi đó 

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 0 m thì: