Bài 1 trang 40 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản  

Bài 1 trang 40 Toán 11 Tập 1:Giải phương trình:

a) sin$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) sin$\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$;

c) cos$\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

d) 2cos3x + 5 = 3;

e) 3tanx = -$\sqrt{3}$;

g) cotx - 3 = $\sqrt{3}$(1-cotx).

Lời giải:

a) sin$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff$sin$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ = sin$\left(-\frac{\pi }{3}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=k$\pi$ và x=$\frac{5\pi }{6}$+k$\pi$ với k ∈ ℤ.

b) sin$\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$

$\iff$ sin$\left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$ = sin$\left(-\frac{\pi }{6}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}$ và x = $\frac{11\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}$ với k ∈ ℤ.

c) cos$\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff$cos$\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)$ = cos$\frac{\pi }{6}$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{\pi }{6}$+k4$\pi$ và x=$-\frac{5\pi }{6}+k4\pi$ với k ∈ ℤ.

d) 2cos3x + 5 = 3

$\iff$ cos3x = ‒1

$\iff$ 3x = π + k2π (k ∈ ℤ)

$\iff$ x = $\frac{\pi }{3}$+k$\frac{2\pi }{3}$(k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $\frac{\pi }{3}$+k$\frac{2\pi }{3}$ với k ∈ ℤ.

e) 3tanx = -$\sqrt{3}$

$\iff$ tanx = $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\iff$ tanx = tan$\left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff$ x = $-\frac{\pi }{6}$ + k$\pi$ (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $-\frac{\pi }{6}$ + k$\pi$ với k ∈ ℤ.

g) cotx - 3 = $\sqrt{3}$(1-cotx)

$\iff$ cotx - 3 = $\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cotx

$\iff$ (1+$\sqrt{3}$)cotx = $\sqrt{3}$+3

$\iff$ cotx = $\frac{\sqrt{3}\left(1+\sqrt{3}\right)}{1+\sqrt{3}}$

$\iff$ cotx = $\sqrt{3}$

$\iff$ cotx = cot$\frac{\pi }{6}$

$\iff$ x = $\frac{\pi }{6}$+k$\pi$ (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = $\frac{\pi }{6}$+k$\pi$ với k ∈ ℤ.