Cho dãy số (un) biết u1 = – 2, un + 1 = un/(1 - un) với n thuộc N*. Đặt vn = (un + 1)/un với n thuộc N*

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

Bài 27 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = – 2, $u_{n+1}=\frac{u_n}{1-u_n}$  với n ∈ ℕ^*. Đặt $v_n=\frac{u_n+1}{u_n}$  với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.

b) Tìm công thức của v_n, u_n tính theo n.

Lời giải:

a) Ta có $v_n=\frac{u_n+1}{u_n}=1+\frac{1}{u_n}$ , $v_{n+1}=1+\frac{1}{u_{n+1}}=1+\frac{1}{\frac{u_n}{1-u_n}}=1+\frac{1-u_n}{u_n}=\frac{1}{u_n}$ .

Khi đó, $v_{n+1}-v_n=\frac{1}{u_n}-\left(1+\frac{1}{u_n}\right)=-1$  không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu là $v_1=1+\frac{1}{u_1}=1+\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$  và công sai d = – 1.

b) Ta có $v_n=v_1+\left(n-1\right)d=\frac{1}{2}+\left(n-1\right).\left(-1\right)=\frac{1}{2}-n+1=\frac{3}{2}-n$ .

Vì $v_n=1+\frac{1}{u_n}$  nên $1+\frac{1}{u_n}=\frac{3}{2}-n$ $\iff \frac{1}{u_n}=\frac{1}{2}-n$ $\iff u_n=\frac{2}{1-2n}$ .

Vậy $v_n=\frac{3}{2}-n$  và $u_n=\frac{2}{1-2n}$ .

c) Từ $v_n=1+\frac{1}{u_n}$ , suy ra $\frac{1}{u_n}=v_n-1$ .

Do đó, S = – 180 – 20 = – 200.