Cho ba số 1/(b + c), 1/(c + a), 1/(a + b) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a^2, b^2, c^2

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

Bài 21 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1: Cho ba số $\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$  theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a², b², c² theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:

Do ba số $\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

$\frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}$

$\iff \frac{2}{c+a}=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}$

$\iff \frac{2}{c+a}=\frac{b+c+a+b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}$

$\iff \frac{2}{c+a}=\frac{2b+c+a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}$

⇒ 2(a + b)(b + c) = (c + a)(2b + c + a)

⇔ 2ab + 2ac + 2b² + 2bc = 2bc + c² + ca + 2ab + ac + a²

⇔ 2b² = a² + c²

⇔ b² – a² = c² – b².

Suy ra ba số a², b², c² theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.