Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn (O) có đường kính BC

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Bài 9 trang 157 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn (O) có đường kính BC, nó cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D, E.

a) Chứng minh rằng $CD\perp AB$, $BE\perp AC$

b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng AK vuông góc với BC.

Lời giải:

Xét tam giác BCD

Có D nằm trên đường tròn đường kính BC (do đường tròn đường kính BC cắt AB tại D)

Do đó, tam giác BCD nội tiếp đường tròn đường kính BC

Do đó, tam giác BCD vuông tại D

$\Rightarrow CD\perp BD$ hay $CD\perp AB$

Xét tam giác BCE

Có E nằm trên đường tròn đường kính BC (do đường tròn đường kính BC cắt AC tại E)

Do đó, tam giác BCE nội tiếp đường tròn đường kính BC

Do đó, tam giác BCE vuông tại E

$\Rightarrow BE\perp CE$ hay $BE\perp AC$

b)

Xét tam giác ABC

Do $CD\perp AB$ nên CD là đường cao

Do $BE\perp AC$ nên BE là đường cao

Mà CD giao BE tại K nên K là trực tâm của tam giác ABC

Do đó, AK cũng là đường cao 

$\Rightarrow AK\perp BC$