Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O)

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Bài 12 trang 158 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn ở D.

a) Vì sao AD là đường kính của đường tròn (O) ?

b) Tính số đo góc ACD

c) Cho BC = 24cm, AC = 20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn (O).

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC cân tại A

AH là đường cao đồng thời cũng là đường trung trực của BC.

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O nằm trên đường trung trực của BC hay O thuộc AD.

Suy ra AD là đường kính của (O).

b)

Xét tam giác ACD

Do ABC nội tiếp đường tròn (O) nên A, C nằm trên đường tròn tâm O

Mặt khác, do đường cao AH cắt đường tròn ở D nên D cũng nằm trên đường tròn tâm O

Do đó, tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O)

Mà AD là đường kính

Do đó, tam giác ACD vuông tại C

$\Rightarrow \widehat{ACD}={90}^o$

c)

Xét tam giác ABC cân tại A

AH là đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến.

Do đó, H là trung điểm của BC

$\Rightarrow HB=HC=\frac{BC}{2}=\frac{24}{2}=12$ (cm)

Xét tam giác AHC vuông tại H

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2\Rightarrow A{H}^2=A{C}^2-H{C}^2={20}^2-{12}^2=256$

$\Rightarrow AH=\sqrt{256}=16$ (cm)

Xét tam giác ACD vuông tại C

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$A{C}^2=AH.AD\Rightarrow AD=\frac{A{C}^2}{AH}=\frac{{20}^2}{16}=25$ (cm)

Vậy bán kính của đường tròn (O) là:

$R=\frac{AD}{2}=\frac{25}{2}=12,5$ (cm)

*Phương pháp giải:

Dựa vào các tính chất sau:

+ Tính chất tam giác cân

+ Tính chất tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

+Pytago

+Hệ thức lượng trong tam giác vuông

*Lý thuyết: