Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Bài 1.2 trang 158 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

Lời giải:

Xét tam giác DEC có:

M là trung điểm của DE

N là trung điểm của DC

Do đó, MN là đường trung bình của tam giác DEC

$\Rightarrow$ MN // EC, $MN=\frac{1}{2}EC$ (1)

Xét tam giác BEC có:

Q là trung điểm của BE

P là trung điểm của BC

Do đó, QP là đường trung bình của tam giác BEC

$\Rightarrow$ QP // EC, $QP=\frac{1}{2}EC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra QMNP là hình bình hành

Xét tam giác DEB có:

M là trung điểm của DE

Q là trung điểm của BE

Do đó, MQ là đường trung bình của tam giác DEB

$\Rightarrow$ MQ // DB hay MQ // AB (3),

Mà $AB\perp AC$ (4) (do tam giác ABC vuông tại A)

Mặt khác: MN // EC hay MN // AC (5)

Từ (3), (4), (5) ta suy ra:

$MN\perp MQ\Rightarrow \widehat{NMQ}={90}^o$

Do đó, tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Gọi I là giao điểm hai đường chéo MP và QN

Ta có: IM = IN = IP = IQ = $\frac{MP}{2}$ (tính chất hình chữ nhật)

Do đó, M, N, P, Q cùng nằm trên đường tròn tâm I bán kính $R=\frac{MP}{2}$.