Cho hình thoi ABCD có góc A=60 độ. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Bài 1.3 trang 158 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có $\widehat{A}={60}^o$. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo; E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng sáu điểm E, B, F, G, D, H thuộc cùng một đường tròn.

Lời giải:

O là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD nên AC vuông góc với BD tại O

Xét tam giác OAB vuông tại O có:

OE là trung tuyến do E là trung điểm của AB

$\Rightarrow OE=EB=EA=\frac{AB}{2}$

$\widehat{BAD}={60}^o\Rightarrow \widehat{BAO}={30}^o$ (do đường chéo AC cũng là đường phân giác của góc A)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$OB=AB.\sin \widehat{OAB}=AB.\sin {30}^o=\frac{1}{2}AB$

$\Rightarrow OB=OE=\frac{1}{2}AB$ (1)

Xét tam giác COB vuông tại O có:

OF là trung tuyến do F là trung điểm của BC

$\Rightarrow OF=FB=FC=\frac{BC}{2}$

$\widehat{BCD}=\widehat{BAD}={60}^o$ (do ABCD là hình thoi)

$\Rightarrow \widehat{BCO}={30}^o$ (do đường chéo AC cũng là đường phân giác của góc C)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$OB=BC.\sin \widehat{BCO}=BC.\sin {30}^o=\frac{1}{2}BC$

$\Rightarrow OB=OF=\frac{1}{2}BC$ (2)

Xét tam giác COD vuông tại O có:

OG là trung tuyến do G là trung điểm của CD

$\Rightarrow OG=GD=GC=\frac{CD}{2}$

$\widehat{BCD}=\widehat{BAD}={60}^o$ (do ABCD là hình thoi)

$\Rightarrow \widehat{DCO}={30}^o$ (do đường chéo AC cũng là đường phân giác của góc C)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$OD=CD.\sin \widehat{DCO}=CD.\sin {30}^o=\frac{1}{2}CD$

$\Rightarrow OD=OG=\frac{1}{2}CD$ (2)

Xét tam giác AOD vuông tại O có:

OH là trung tuyến do H là trung điểm của AD

$\Rightarrow OH=HD=HA=\frac{AD}{2}$

$\widehat{BAD}={60}^o\Rightarrow \widehat{DAO}={30}^o$ (do đường chéo AC cũng là đường phân giác của góc A)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$OD=AD.\sin \widehat{DAO}=AD.\sin {30}^o=\frac{1}{2}AD$

$\Rightarrow OH=OD=\frac{1}{2}AD$ (4)

Do ABCD là hình thoi nên

AB = BC = CD = AD  (5)

Từ (1), (2), (3), (4) và (5) ta suy ra

OE = OB = OF = OG = OD = OH = $\frac{1}{2}AB$ 

Do đó, E, B, F, G, D, H cùng nằm trên đường tròn tâm O bán kính $R=\frac{1}{2}AB$