Cho hình bên, trong đó MN = PQ

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Bài 24 trang 160 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình bên, trong đó MN = PQ. Chứng minh rằng:

a) AE = AF   

b) AN = AQ

Lời giải:

Nối OA

Ta có: MN = PQ (theo đề bài)

$\Rightarrow$ OE = OF (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét $\Delta OAE$ và $\Delta \text{OAF}$, ta có:

$\widehat{OEA}=\widehat{OFA}={90}^o$

OA chung

OE = OF

Do đó,  (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow$ AE = AF (hai cạnh tương ứng).

b)

Ta có: $OE\perp MN$ (theo đề bài)

Mà OE là một phần của đường kính, MN là dây cung

Do đó, E là trung điểm của MN

$\Rightarrow EM=EN=\frac{MN}{2}$ (1)

Ta có: $OF\perp PQ$ (theo đề bài)

Mà OF là một phần của đường kính, PQ là dây cung

Do đó, F là trung điểm của PQ

$\Rightarrow FP=FQ=\frac{PQ}{2}$ (2)

Mặt khác ta có MN = PQ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: EN = FQ (4)

Ta có AN + NE = AE hay

AN = AE – NE; AQ + QF = AF

hay AQ = AF – QF.

Mà AE = AF

Suy ra: AE – NE = AF –  QF

Do đó AN = AQ.