Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Bài 33 trang 161 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Cho biết AB > CD, chứng minh rằng MH > MK.

Lời giải:

Do H là trung điểm của dây cung AB

Mà OH là một phần của đường kính

$\Rightarrow OH\perp AB$ tại H

Ta có: KC = KD

Do K là trung điểm của dây cung CD

Mà OK là một phần của đường kính

$\Rightarrow OK\perp CD$ tại K

Mà AB > CD (theo đề bài)

Nên OK > OH (dây lớn hơn gần tâm hơn)

Xét tam giác OHM vuông tại H

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$O{M}^2=O{H}^2+H{M}^2$

$\Rightarrow H{M}^2=O{M}^2-O{H}^2$ (1)

Xét tam giác OKM vuông tại K

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$O{M}^2=O{K}^2+K{M}^2$

$\Rightarrow K{M}^2=O{M}^2-O{K}^2$(2)

Mà OH < OK (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

$H{M}^2>K{M}^2\Rightarrow HM>KM$.