Cho đường tròn (O), các bán kính OA, OB

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Bài 31 trang 161 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), các bán kính OA, OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng:

a) OC là tia phân giác của góc AOB

b) OC vuông góc với AB

Lời giải:

a)

Kẻ $OH\perp AM$, $OK\perp AN$lần lượt tại H và K

Ta có AM = BN (theo đề bài)

$\Rightarrow$OH = OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)

Xét tam giác OCH và tam giác OCK có:

$\widehat{OHC}=\widehat{OKC}={90}^o$

OC chung

OH = OK (cmt)

Do đó, tam giác OCH bằng tam giác OCK (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}$(hai góc tương ứng) (1)

Xét tam giác OAH và tam giác OBK có:

$\widehat{OHA}=\widehat{OKB}={90}^o$

OA = OB (= R)

OH = OK (cmt)

Do đó, tam giác OAH bằng tam giác OBK (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{O_3}=\widehat{O_4}$ (hai góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

$\widehat{O_1}+\widehat{O_3}=\widehat{O_2}+\widehat{O_4}\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{BOC}$

Do đó OC là tia phân giác của góc AOB

b)

Tam giác OAB cân tại O có

OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow OC\perp AB$