Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD bằng nhau

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Bài 29 trang 161 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a. OI là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB, CD.

b. Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một.

Lời giải:

a)

Kẻ $OH\perp AB,OK\perp CD$ lần lượt tại H và K

Ta có: AB = CD (gt)

$\Rightarrow$ OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét $\Delta OKI$ và $\Delta OHI$, ta có:

$\widehat{OKI}=\widehat{OHI}={90}^0\left(OH\perp AB,OK\perp CD\right)$

OI chung

OH = OK (cmt)

$\Rightarrow \Delta OKI=\Delta OHI$(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{HIO}=\widehat{KIO}$ (hai góc tương ứng).

Do đó OI là tia phân giác của  (tính chất đường phân giác).

b) Vì $\Rightarrow \Delta OKI=\Delta OHI$ (cmt)

$\Rightarrow$ IH = IK (hai cạnh tương ứng) (1)

Lại có:

OH là một phần của đường kính, OH vuông góc với dây cung AB tại H

Do đó, H là trung điểm của AB

$\Rightarrow HA=HB=\frac{AB}{2}$

OK là một phần của đường kính, OK vuông góc với dây cung CD tại K

Do đó, K là trung điểm của CD

$\Rightarrow KC=KD=\frac{CD}{2}$

Mà AB = CD nên ta có:

HA = HB = KC = KD (2)

Ta có IA = HA – IH, IC = KC – IK (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: IA = IC (4)

Mà AB = CD

$\Rightarrow AB=IA+IB=IC+ID=CD$ (5)

Từ (4) và (5) ta có IB = ID.