Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Video Giải Bài tập 1 trang 63 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 1 trang 63 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE);

b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF).

* Lời giải:

a) O là tâm hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Suy ra $\begin{array}{l}OA=OC\\ OB=OD\end{array}$

O’ là tâm hình bình hành ABEF nên O là trung điểm của AE và BF.

Suy ra $\begin{array}{l}O\text{'}A=O\text{'}E\\ O\text{'}B=O\text{'}F\end{array}$

Trong tam giác DBF có OO’ là đường trung bình nên OO’ // DF

$DF\subset \left(ADF\right)$ nên OO’ // (ADF)

Trong tam giác AEC có OO’ là đường trung bình nên OO’ // EC

$EC\subset \left(BCE\right)$ nên OO’ // (BCE)

b) Ta có :

$\begin{array}{l}\text{EF}\parallel AB;\text{EF}=AB\\ DC\parallel AB;DC=AB\end{array}$ suy ra EF // DC ; EF = DC

Do đó EFDC là hình bình hành

Suy ra $\text{EF}\subset \left(\text{EF}DC\right)$

Gọi J là trung điểm của AB

M là trọng tâm của tam giác ABD

Suy ra $\frac{JN}{JE}=\frac{1}{3}$

N là trọng tâm của tam giác ABE

Suy ra $\frac{JM}{JD}=\frac{1}{3}$

Do vậy, trong tam giác JED, ta có:

$\frac{JN}{JE}=\frac{JM}{JD}=\frac{1}{3}$ suy ra MN // ED

$\text{ED}\subset \left(\text{EF}DC\right)$ suy ra MN // (EFDC)

Vậy MN // (CEF).

* Phương pháp giải:

Áp dụng tín chất và điều kiện về đường thẳng song song với mặt phẳng để chứng minh:

* Lý thuyết cần nắm thêm về đường thẳng và mặt phẳng song song:

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Tùy theo số điểm chung của d và (α), ta có ba trường hợp sau:

- d và (α) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (α) hay (α) song song với d và kí hiệu là d // (α) hay (α) // d.

- d và (α) chỉ có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và (α) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu $d\cap \left(\alpha \right)=M$.

- d và (α) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, d nằm trong (α) hay (α) chứa d và kí hiệu $d\subset \left(\alpha \right)$.

Tính chất

- Định lí. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α).