Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Video Giải Bài tập 2 trang 63 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 2 trang 63 SGK Toán lớp 11 Hình học:

a) Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện.

b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì?

Lời giải:

a) Ta có (α) // AC; (α) // BD

Suy ra giao tuyến của (α) và (ABC) là đường thẳng song song với AC.

Mà $M\in \left(ABC\right)\cap \left(\alpha \right)$

Suy ra $\left(ABC\right)\cap \left(\alpha \right)=MN$ là đường thẳng qua M, song song với AC $(N\in BC)$

Tương tự $\left(\alpha \right)\cap \left(ABD\right)=MQ$ là đường thẳng qua M song song với BD $(Q\in AD)$.

$\left(\alpha \right)\cap \left(BCD\right)=NP$là đường thẳng qua N song song với BD $(P\in CD)$

Vậy $\left(\alpha \right)\cap \left(ACD\right)=QP$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\cap \left(ABD\right)=MQ\\ \left(\alpha \right)\cap \left(ABC\right)=MN\\ \left(\alpha \right)\cap \left(ACD\right)=PQ\\ \left(\alpha \right)\cap \left(BCD\right)=PN\end{array}$

Nên thiết diện là tứ giác MNPQ

$\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\cap \left(ACD\right)=PQ\\ AC//\left(\alpha \right)\\ AC\subset \left(ACD\right)\end{array}\Rightarrow PQ//AC$

Mà MN // AC (câu a) nên MN // PQ.

Lại có: MQ // BD, NP // BD (câu a) nên MQ // NP.

Vậy tứ giác MNPQ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.