Cho dãy số (un), biết u1 = – 2, un+1 = (n + 1)/2n * un với n ∈ ℕ*. Đặt vn = un/n với n thuộc N*

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2

Bài 57 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n), biết u₁ = – 2, $u_{n+1}=\frac{n+1}{2n}{u}_n$  với n ∈ ℕ^*. Đặt $v_n=\frac{u_n}{n}$  với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức của u_n tính theo n.

Lời giải:

a) Ta có $v_1=\frac{u_1}{1}=\frac{-2}{1}=-2$ ;

$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{n+1}=\left(\frac{n+1}{2n}{u}_n\right):\left(n+1\right)=\frac{1}{2}.\frac{u_n}{n}=\frac{1}{2}{v}_n$ với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu v₁ = – 2 và công bội $q=\frac{1}{2}$ .

b) Từ kết quả của câu a) suy ra $v_n=v_1.q^{n-1}=\left(-2\right).{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}$ .

Từ $v_n=\frac{u_n}{n}$ , suy ra $u_n=n.v_n=-n.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}$  với mọi n ≥ 2.