Cho ba số 2/(b - a), 1/b, 2/(b - c) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Bài 37 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1: Cho ba số $\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Lời giải:

Do ba số $\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

$\frac{1}{b}-\frac{2}{b-a}=\frac{2}{b-c}-\frac{1}{b}$

$\iff \frac{b-a-2b}{b\left(b-a\right)}=\frac{2b-\left(b-c\right)}{b\left(b-c\right)}$

$\iff \frac{-a-b}{b-a}=\frac{b+c}{b-c}$ (do b ≠ 0)

$\Rightarrow \left(-a-b\right)\left(b-c\right)=\left(b-a\right)\left(b+c\right)$

⇔ – ab + ac – b² + bc = b² + bc – ab – ac

⇔ ac – b² = b² – ac

⇔ 2b² = 2ac

⇔ b² = ac

$\iff \frac{b}{a}=\frac{c}{b}$.

Suy ra ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.