Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Bài 42 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1: Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm ba số đó.

Lời giải:

Giả sử công bội của cấp số nhân là q, công sai của cấp số cộng là d, khi đó gọi ba số cần tìm là a, aq, aq². (với a, p ≠ 0)

Theo bài ra ta có: a + aq + aq² = 78 (*); aq = a + 2d; aq² = a + 8d.

Từ aq = a + 2d, suy ra aq – a = 2d ⇔ a(q – 1) = 2d. (1)

Từ aq² = a + 8d, suy ra aq² – a = 8d ⇔ a(q² – 1) = 8d ⇔ a(q – 1)(q + 1) = 8d. (2)

Với q = 1 thì a = aq = aq², mà ba số cần tìm là phân biệt nên q = 1 không thỏa mãn.

Do vậy, q ≠ 1 ⇒ q – 1 ≠ 0, do đó a(q – 1) ≠ 0. Chia vế theo vế của (2) cho (1):

Ta được: q + 1 = 4 ⇔ q = 3.

Thay q = 3 vào (*): a + 3a + 9a = 78 ⇔ 13a = 78 ⇔ a = 6.

Suy ra ba số cần tìm là 6; 6 . 3 = 18; 18 . 3 = 54.

Vậy ba số cần tìm là: 6; 18; 54.