Trong Hình 37, cho O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD

Giải SBT Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài 39 trang 75 SBT Toán 8 Tập 2: Trong Hình 37, cho O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD. Kẻ một đường thẳng tuỳ ý đi qua O và cắt cạnh AB tại M, CD tại N. Đường thẳng qua M song song với CD cắt AC tại E và đường thẳng qua N song song với AB cắt BD tại F. Chứng minh:

a) ∆OBE ᔕ ∆OFC;

b) BE // CF.

Lời giải:

a) Do NF // AB, mà M ∈ AB nên NF // MB.

Xét ∆OBM với NF // MB, ta có $\frac{OB}{OF}=\frac{OM}{ON}$ (hệ quả của định lí Thalès) (1).

Do ME // CD, mà N ∈ CD nên ME // NC.

Xét ∆OEM với ME // NC, ta có $\frac{OE}{OC}=\frac{OM}{ON}$ (hệ quả của định lí Thalès) (2).

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{OB}{OF}=\frac{OE}{OC}\left(=\frac{OM}{ON}\right)$

Xét ∆OBE và ∆OFC có:

$\widehat{BOE}=\widehat{FOC}$ (hai góc đối đỉnh) và $\frac{OB}{OF}=\frac{OE}{OC}$ (chứng minh trên)

Suy ra ∆OBE ᔕ ∆OFC (c.g.c).

b) Theo câu a, ta có ∆OBE ᔕ ∆OFC nên $\widehat{EBO}=\widehat{OFC}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc $\widehat{EBO}$ và $\widehat{OFC}$ ở vị trí so le trong nên suy ra BE // CF.