Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, AC = 3 cm, BC = 4 cm. Chứng minh

Giải SBT Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài 43* trang 76 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, AC = 3 cm, BC = 4 cm. Chứng minh: $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}+2\widehat{BCA}.$

Lời giải:

Trên đoạn thẳng BC lấy điểm D sao cho BD = 1 cm.

Suy ra CD = BC ‒ BD = 4 ‒ 1 = 3 cm.

Ta có: $\frac{BD}{BA}=\frac{1}{2};\frac{AB}{CB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$nên $\frac{BD}{BA}=\frac{AB}{CB}=\frac{1}{2}.$

Xét ∆ABD và ∆CBA có:

$\widehat{ABC}$ là góc chung và $\frac{BD}{BA}=\frac{AB}{CB}$

Suy ra ∆ABD ᔕ ∆CBA (c.g.c).

Do đó $\widehat{BAD}=\widehat{BCA}$ (hai góc tương ứng) (1).

Tam giác ADC có CD = CA = 3 cm nên là tam giác cân tại C, do đó $\widehat{DAC}=\widehat{ADC}$ (2).

Từ (1) và (2), ta có:

$\widehat{BAC}=\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=\widehat{BCA}+\widehat{ADC}.$

Mặt khác, $\widehat{ADC}$ là góc ngoài tại đỉnh D của ∆ABD nên $\widehat{ADC}=\widehat{BAD}+\widehat{ABD}.$

Do đó $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}+\widehat{BAD}+\widehat{ABD}$ = $\widehat{BCA}+\widehat{BCA}+\widehat{ABC}=\widehat{ABC}+2\widehat{BCA}$

Vậy $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}+2\widehat{BCA}$.