Tổng ba góc của một tam giác và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 7

I. LÝ THUYẾT:

1. Tổng ba góc của một tam giác:

Tổng ba góc của một tam giác bằng 180^o.

2. Áp dụng vào tam giác vuông:

Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

 

3. Góc ngoài của tam giác:

a. Định nghĩa: Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác đó.

b. Tính chất: Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Nhận xét: Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

${\widehat{B}}_1>\widehat{A};{\widehat{B}}_1>\widehat{C}$

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 1.1: Tính số đo góc của một tam giác.

1. Phương pháp giải:

- Lập các biểu thức thể hiện:

+ Tổng ba góc của tam giác bằng 180^o.

+ Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

+ Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

- Sau đó tính số đo của góc phải tìm.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính số đo $\widehat{CAD}$ trong hình vẽ dưới đây:

Giải:

Góc ADC là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ABD nên ta áp dụng định lý góc ngoài của tam giác ABD có: $\widehat{ADC}=\widehat{BAD}+\widehat{ABD}={20}^o+{50}^o={70}^o$

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác ADC có:

$\widehat{CAD}+\widehat{ACD}+\widehat{ADC}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{CAD}={180}^o-\widehat{ACD}-\widehat{ADC}={180}^o-{45}^o-{70}^o={65}^o$

Vậy $\widehat{CAD}={65}^o$

Dạng 1.2: So sánh góc dựa vào tính chất góc ngoài của tam giác.

1. Phương pháp giải:

Dùng tính chất: Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có $\widehat{A}={80}^o,$ hai tia phân giác BD và CE cắt nhau tại I.

a) Tính $\widehat{BIC}$.

b) So sánh các góc: $\widehat{BIC};\widehat{BDC};\widehat{BAC}$.

Giải:

GT	$\Delta ABC,$ $\widehat{A}={80}^o$  BD và CE là hai tia phân giác $BD\cap CE=I$
KL	a) $\widehat{BIC}=?$ b) So sánh các góc: $\widehat{BIC};\widehat{BDC};\widehat{BAC}$.

a) Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}={180}^o$$\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ACB}={180}^o-\widehat{A}$

$\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ACB}={180}^o-{80}^o={100}^o$

$\Rightarrow {\widehat{B}}_1+{\widehat{C}}_1=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=\frac{{100}^o}{2}={50}^o$(vì BD, CE tia phân giác)

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác BIC có:

$\widehat{BIC}+{\widehat{B}}_1+{\widehat{C}}_1={180}^o$

$\widehat{BIC}={180}^o-\left({\widehat{B}}_1+{\widehat{C}}_1\right)={180}^o-{50}^o={130}^o$

Vậy $\widehat{BIC}={130}^o$.

b) Ta có $\widehat{BIC}$ là góc ngoài ứng với đỉnh I của $\Delta IDC$.

Suy ra $\widehat{BIC}>\widehat{IDC}hay\widehat{BIC}>\widehat{BDC}\left(1\right)$

Tương tự xét trong $\Delta ADB$, $\widehat{BDC}>\widehat{BAC}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BIC}>\widehat{BDC}>\widehat{BAC}.$

Dạng 1.3: Nhận biết tam giác nhọn, vuông, tù.

1. Phương pháp giải:

Những dấu hiệu nhận biết các tam giác nhọn, vuông, tù:

- Tam giác nhọn là tam giác có ba góc đều nhọn.

- Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90^o.

- Tam giác tù là tam giác có một góc tù.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Cho ba tam giác như hình bên dưới, hãy chỉ ra đâu là tam giác nhọn, tam giác vuông và tam giác tù?

Giải:

+) Xét tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$ $\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-\widehat{A}-\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-{80}^o-{60}^o={40}^o$

Nhận thấy $\widehat{A}={80}^o<{90}^o,\widehat{B}={60}^o<{90}^o,\widehat{C}={40}^o<{90}^o$

Vậy tam giác ABC là tam giác nhọn.

+) Xét tam giác DEF có:

$\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}={180}^o$$\Rightarrow \widehat{D}={180}^o-\widehat{E}-\widehat{F}$

$\Rightarrow \widehat{D}={180}^o-{45}^o-{30}^o={105}^o$

Nhận thấy $\widehat{D}={105}^o>{90}^o$

Vậy tam giác DEF là tam giác tù.

+) Xét tam giác MNP có:

$\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}={180}^o$ $\Rightarrow \widehat{M}={180}^o-\widehat{N}-\widehat{P}$

$\Rightarrow \widehat{D}={180}^o-{60}^o-{30}^o={90}^o$

Vậy tam giác MNP là tam giác vuông.

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Tam giác ABC vuông có số đo một góc bằng 36o. Số đo góc nhọn còn lại là:

A. 64^o

B. 54^o

C. 44^o

D. 74^o

Bài 2: Tam giác ABC có $\widehat{A}={70}^o$, $\widehat{B}-\widehat{C}={50}^o$. Số đo của góc C bằng :

A. 80^o

B. 60^o

C. 30^o

D. 40^o

Bài 3: Tính số đo góc C của tam giác ABC trong hình vẽ dưới đây:

Bài 4: Có tồn tại các tam giác thỏa mãn các điều kiện về góc như sau hay không?

a) $\widehat{A}=3\widehat{B};\widehat{B}=3\widehat{C};\widehat{C}={14}^o$

b) $\widehat{A}={30}^o;\widehat{A}:\widehat{B}:\widehat{C}=3:4:5$   

c) $\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{\widehat{B}}{5};\widehat{B}-\widehat{A}=33,{75}^o;\widehat{C}=101,{25}^o$

Bài 5: Tính số đo góc B ở trong hình vẽ.

Bài 6: Cho tam giác ABC, $\widehat{A}={70}^o$. Tia phân giác của góc ABC cắt tia phân giác góc ACB tại I. Tính số đo góc BIC.

Bài 7: Hãy chỉ ra loại tam giác ở hai hình dưới đây:

a)

b)

Bài 8: Cho tam giác ABC có $\widehat{A}={50}^o,\widehat{B}={70}^o$. Tia phân giác của góc C cắt AB tại M. Tính $\widehat{AMC},\widehat{BMC}.$

Bài 9: Tam giác ABC có $\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A};\widehat{C}=2\widehat{B}$. Tia phân giác của góc C cắt AB ở D. Tính $\widehat{ADC};\widehat{BDC}$?

Bài 10: Cho tam giác ABC có $\widehat{A}={90}^o$. Gọi d là đường thẳng đi qua  C và vuông góc với BC. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D và cắt d ở E. Kẻ CH vuông góc DE $\left(H\in DE\right)$. Chứng minh rằng CH là phân giác của góc DCE.

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Đáp án B.

Bài 2: Đáp án C.

Bài 3: 80^o

Bài 4:

a) Không

b) không

c) Có

Bài 5: $\widehat{B}={40}^o$

Bài 6: Ta có $\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o-\widehat{A}={110}^o$

Áp dụng định lí tổng ba góc vào tam giác BIC ta có:

$\widehat{BIC}={180}^o-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)={180}^o-\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}={125}^o$

Vậy $\widehat{BIC}={125}^o$

Bài 7:

$\widehat{C}={60}^o,$ tam giác ABC là tam giác nhọn.

$\widehat{I}={120}^o,$ tam giác HIK là tam giác tù.

Bài 8: $\widehat{AMC}={100}^o,\widehat{BMC}={80}^o$

Bài 9:

$\widehat{ADC}={60}^o,\widehat{BDC}={120}^o$

Ta có $\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A};\widehat{C}=2\widehat{B};\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{A}={90}^o;\widehat{B}={30}^o;\widehat{C}={60}^o$

Do CD là phân giác của góc C nên

$\widehat{ACD}={30}^o\Rightarrow \widehat{ADC}={60}^o$

$\Rightarrow \widehat{BDC}={120}^o$

Bài 10:

Ta có $\widehat{ABD}=\widehat{HCD}$ (cùng phụ với $\widehat{ADB}$).

$\widehat{EBC}=\widehat{HCE}$ (cùng phụ với $\widehat{BEC}$)

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{EBC}$ (do BD là phân giác $\widehat{ABC}$)

Suy ra $\widehat{HCD}=\widehat{HCE}$.

Vậy CH là phân giác của $\widehat{DCE}$.