Tam giác cân, Tam giác đều và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 7

I. LÝ THUYẾT:

1. Tam giác cân:

a. Định nghĩa:

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Trên hình, tam giác ABC cân ở A (AB = AC), AB và AC là hai cạnh bên, BC là cạnh đáy, $\widehat{B},\widehat{C}$ là các góc ở đáy, $\widehat{A}$ là góc ở đỉnh.

b. Tính chất:

- Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.

Tam giác ABC vuông cân tại A thì $\widehat{B}=\widehat{C}={45}^o$

2. Tam giác đều.

Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Tam giác ABC đều thì AB = AC = BC và $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}={60}^o$

Hệ quả:

- Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60°.

- Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

- Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60° thì tam giác đó là tam giác đều.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 3.1: Cách vẽ tam giác cân, vuông cân, tam giác đều.

1. Phương pháp giải:

Dựa vào các cách vẽ tam giác đã học và định nghĩa các tam giác cân, vuông cân, đều.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Vẽ tam giác ABC cân tại C có AB = 6 cm, AC = BC = 5cm.

Giải: (Vẽ tương tự như cách vẽ tam giác thường biết độ dài ba cạnh)

Cách vẽ:

- Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm.

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính 5cm.

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5cm.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại C.

- Nối CA, CB ta được tam giác ABC cần vẽ.

Ví dụ 2: Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A.

Giải:

- Vẽ góc vuông xAy

- Trên tia Ax lấy điểm B, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AB = AC

- Nối B với C

- Khi đó ta được tam giác ABC vuông cân tại A.

Ví dụ 3: Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 4 cm.

Giải:

- Vẽ đoạn thẳng BC = 4 cm

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 4 cm.

- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 4 cm.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại A.

- Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần vẽ.

Dạng 3.2: Nhận biết một tam giác là tam giác cân, vuông cân, đều.

1. Phương pháp giải:

Những dấu hiệu nhận biết các tam giác cân, vuông cân, đều:

*Tam giác cân:

- Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau (theo định nghĩa).

- Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

*Tam giác vuông cân:

- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau (theo định nghĩa).

- Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45o là tam giác vuông cân.

*Tam giác đều:

- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau (theo định nghĩa).

- Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều.

- Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4: Tìm các tam giác cân, vuông cân, đều trên hình vẽ sau:

Giải:

(a) Áp dụng định lý góc ngoài trong tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$ $\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-\widehat{A}-\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-{50}^o-{65}^o={65}^o$

$\Delta ABC$ có $\widehat{B}=\widehat{C}={65}^o$

Do đó $\Delta ABC$ cân tại A.

(b) Ta có, $\Delta HKF$ vuông tại H có $\widehat{K}={45}^o$

Nên $\Delta HKF$ là tam giác vuông cân tại H  (1)

Vì $\widehat{DEF}=\widehat{HKF}={45}^o$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên HK // DE

Vì $HK\perp HF$, HK // DE 

$\Rightarrow DE\perp DF$ (Tính chất từ vuông góc đến song song)

Ta có, $\Delta DEF$ vuông tại D có $\widehat{E}={45}^o$

Nên $\Delta DEF$ là tam giác vuông cân tại D (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta HKF$, $\Delta DEF$ là tam giác vuông cân.

(c) Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác MNP có:

$\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}={180}^o$$\Rightarrow \widehat{M}={180}^o-\widehat{N}-\widehat{P}$

$\Rightarrow \widehat{M}={180}^o-{60}^o-{60}^o={60}^o$

Ta có, $\Delta MNP$ có $\widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{P}(={60}^o)$

Do đó $\Delta MNP$ là tam giác đều.

Dạng 3.3: Sử dụng định nghĩa, tính chất tam giác cân, vuông cân, đều để suy ra các đoạn thẳng, các góc bằng nhau.

1. Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa và tính chất của tam giác cân, vuông cân, đều.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tại A (BC < AB). Trên cạnh AB lấy D sao cho CD = CB.

a) Chứng minh: $\widehat{ACB}=\widehat{CDB}$.

b) Trên tia đối của tia CA lấy E sao cho CE = AD. Chứng minh BE = BA.

Giải:

GT	Cho $\Delta ABC$, AB = AC (BC < AB)  CD = CB (DAB) CE là tia đối của tia CA: CE = AD
KL	a) $\widehat{ACB}=\widehat{CDB}$ b) BE = BA

a) $\Delta ABC$ cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(1\right)$

Vì $\Delta BCD$ cân tại C (do CD = CB)  nên $\widehat{CDB}=\widehat{DBC}=\widehat{ABC}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{CDB}$

b) Ta có: $\widehat{ACB}+\widehat{BCE}={180}^o$

$\widehat{CDB}+\widehat{ADC}={180}^o$

Mà $\widehat{ACB}=\widehat{CDB}$ (câu a)

Do đó: $\widehat{ADC}=\widehat{BCE}$

Xét $\Delta ADC$ và $\Delta ECB$ có:

CE = AD (gt)

$\widehat{ADC}=\widehat{BCE}$ (cmt)

CD = CB (gt)

Do đó: $\Delta ADC=\Delta ECB(c.g.c)$

$\Rightarrow BE=AC$ (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = AB (do tam giác ABC cân tại A)

Vậy BE = AB (đpcm).

Dạng 3.4: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc.

1. Phương pháp giải:

Dựa vào định lý tổng ba góc của một tam giác và mối quan hệ giữa các cạnh, các góc trong tam giác đó.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC cân tại A và tam giác đều BCD (D và A nằm khác phía đối với BC). Tính số đo góc BDA.

Giải:

GT	$\Delta ABC,AB=AC$ $\Delta BCD,BC=BD=CD$ (D và A nằm khác phía đối với BC)
KL	$\widehat{BDA}=?$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân)

BD = CD ($\Delta BCD$ đều)

Cạnh AD chung

Do đó: $\Delta ABD=\Delta ACD(c.c.c)$

$\Rightarrow {\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2$  (hai góc tương ứng)

Mặt khác, $\Delta BCD$ đều nên $\widehat{BDC}={60}^o={\widehat{D}}_1+{\widehat{D}}_2$

$\Rightarrow {\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2={30}^o$

Vậy $\widehat{BDA}={30}^o$.

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Câu nào đúng, câu nào sai? ( Đánh dấu x vào câu lựa chọn)

	Đúng	Sai
a) Tam giác cân có một góc 45o là tam giác vuông cân.
b) Mỗi góc ngoài của 1 tam giác thì bằng tổng 2 góc không kề nó của tam giác đó.
c) Nếu tam giác có 1 cặp cạnh không bằng nhau thì tam giác đó không phải là tam giác cân.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, có $\widehat{A}={50}^o$. Tính các góc còn lại của tam giác đó.

Bài 3: Số tam giác cân ở hình sau là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Bài 4: Cho ∆ABC cân tại A. Lấy điểm E và F lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho BE = CF. Chứng minh $\Delta$AEF là tam giác cân.

Bài 5: Vẽ tam giác đều ABC có AB = AC = BC = 6cm

Bài 6: Tìm các tam giác cân trên hình vẽ sau:

Bài 7: Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại O. Biết OC = AB.

a) Chứng minh $\Delta AEB=\Delta OEC$.

b) Tính góc ACB.

Bài 8: Tìm số đo x trên mỗi hình sau:

Bài 9: Cho $\Delta ABC$ cân tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AC, điểm K thuộc cạnh AB sao cho AH = AK. Gọi O là giao điểm của BH và CK. Chứng minh $\Delta OBC$ và $\Delta OHK$ là các tam giác cân.

Bài 10: Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tam giác đều AMC và BMD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, CB. Chứng minh: $△$MEF là tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

Bài 1:

	Đúng	Sai
a) Tam giác cân có một góc 45o là tam giác vuông cân.		x
b) Mỗi góc ngoài của 1 tam giác thì bằng tổng 2 góc không kề nó của tam giác đó.	x
c) Nếu tam giác có 1 cặp cạnh không bằng nhau thì tam giác đó không phải là tam giác cân.		x

Bài 2: $\widehat{B}=\widehat{C}={65}^o$

Bài 3: Đáp án: C

Tam giác ABC cân tại A do AB = AC

Tam giác DEF cân tại D do $\widehat{E}=\widehat{F}={64}^o$ (tính toán được)

Tam giác GIH không cân do $\widehat{G}={58}^o,\widehat{I}={60}^o,\widehat{H}={72}^o$

Bài 4: Dễ dàng chứng minh được AE = AF

$\Rightarrow \Delta AEF$ cân tại A.

Bài 5:

Cách vẽ:

- Vẽ đoạn thẳng BC = 6 cm.

- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 6 cm.

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 6 cm.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại A.

- Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần vẽ.

Bài 6:

a) $\Delta ABD$ cân

b) $\Delta ABE,\Delta ACD$ cân

c) $\Delta ABC,\Delta ABD,\Delta BCD$ cân

Bài 7:

a) Xét $\Delta AEB$ và $\Delta OEC:$

$\widehat{AEB}=\widehat{BEC}={90}^o$

$AB=OC\left(gt\right)$

$\widehat{ABE}=\widehat{ECO}$ (vì cùng phụ với góc A)

Do đó: $\Delta AEB=\Delta OEC(g.c.g)$

b) Tam giác EBC vuông cân tại E: $\widehat{ACB}={45}^o$

Bài 8:

a) x = 22,5^o

b) x = 25^o

Bài 9:

*Tam giác ABC cân tại A $\Rightarrow$ AB =AC

Mà AH = AK $\Rightarrow$ BK = HC

Ta chứng minh được $\Delta BKC$= $\Delta CHB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{KCB}=\widehat{HBC}$

$\Rightarrow \Delta OBC$ cân tại O.

* Ta có: BH = CK, OB = OC

$\Rightarrow$ OH = OK.

$\Rightarrow \Delta OHK$cân tại O.

Bài 10:

$∆$AMD =$∆$DCMB (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{DAM}=\widehat{BAM}$, AD = CB, AE = CF

Có: $∆$MAE =$∆$MCF (c.g.c)

$\Rightarrow$ ME = MF, $\widehat{AME}=\widehat{CMF}$

$\Rightarrow \widehat{EMF}={60}^o$

Mà $\Delta MEF$ cân (do ME = MF)

$\Rightarrow \Delta MEF$ đều.