Tìm toạ độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến

Giải Toán 11 Bài 2: Phép tịnh tiến

Video Giải Bài tập 3 trang 7 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 3 trang 7 SGK Toán lớp 11 Hình học:

x – 2y + 3 = 0.

a) Tìm toạ độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$.

b) Tìm tọa độ của C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$.

c) Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$.

Lời giải:

a) Giả sử A’ = (x’, y’). Khi đó: $T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=A\text{'}$

$\iff \overrightarrow{AA\text{'}}=\overrightarrow{v}\iff \begin{array}{l}x\text{'}-3=-1\\ y\text{'}-5=2\end{array}\iff \begin{array}{l}x\text{'}=3-1=2\\ y\text{'}=5+2=7\end{array}$

Suy ra A’(2; 7)

$T_{\overrightarrow{v}}\left(B\right)=B\text{'}\iff \overrightarrow{BB\text{'}}=\overrightarrow{v}$

   $\iff \begin{array}{l}x\text{'}-(-1)=-1\\ y\text{'}-1=2\end{array}\iff \begin{array}{l}x\text{'}=-1-1\\ y\text{'}=1+2\end{array}\iff \begin{array}{l}x\text{'}=-2\\ y\text{'}=3\end{array}$

Suy ra B’(-2; 3)

Vậy toạ độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$ là A’(2; 7) và B’(-2; 3)

b) Ta có:

$T_{\overrightarrow{v}}\left(C\right)=A\iff \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{v}\iff \begin{array}{l}{x}_A-x_C=-1\\ y_A-y_C=2\end{array}\iff \begin{array}{l}{x}_C=x_A+1\\ y_C=y_A-2\end{array}\iff \begin{array}{l}{x}_C=3+1=4\\ y_C=5-2=3\end{array}$

Suy ra C(4; 3)

c) Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi M(x, y) bất kì thuộc d, $M\text{'}=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=\left(x\text{'};y\text{'}\right)$ nên M' thuộc d'. Khi đó

$M\text{'}=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)\iff \begin{array}{l}x\text{'}=x-1\\ y\text{'}=y+2\end{array}\iff \begin{array}{l}x=x\text{'}+1\\ y=y\text{'}-2\end{array}$

Ta có $M\in d\iff x-2y+3=0$

Suy ra (x’ + 1) – 2(y’ – 2) + 3 = 0

Suy ra x’ – 2y’ + 8 = 0

 $\iff M\text{'}\in d\text{'}$có phương trình x – 2y + 8 = 0

Vậy $T_{\overrightarrow{v}}\left(d\right)=d\text{'}:x-2y+8=0$

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi $T_{\overrightarrow{v}}\left(d\right)=d\text{'}$

Khi đó d’ song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng

x – 2y + C = 0

Lấy một điểm thuộc d chẳng hạn B(-1; 1), khi đó gọi  $B\text{'}=T_{\overrightarrow{v}}\left(B\right)\Rightarrow \begin{array}{l}x\text{'}=-1-1=-2\\ y\text{'}=1+2=3\end{array}$

Suy ra  $B\text{'}(-2;3)\in d\text{'}$

Thay x = -2, y =3 vào đường thẳng d’ , ta có:  -2 – 2.3 + C = 0

Suy ra C = 8.

Vậy phương trình (d’): x – 2y + 8 = 0.