Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ

Giải Toán 11 Bài 2: Phép tịnh tiến

Video Giải Bài tập 2 trang 7 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 2 trang 7 SGK Toán lớp 11 Hình học:

Lời giải:

Gọi B’, C’ lần lượt là ảnh của B, C qua phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow{AG}$. Nhận xét:

$T_{\overrightarrow{AG}}\left(A\right)=G{T}_{\overrightarrow{AG}}\left(B\right)=B\text{'}\iff \overrightarrow{BB\text{'}}=\overrightarrow{AG}{T}_{\overrightarrow{AG}}\left(C\right)=C\text{'}\iff \overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{AG}$

Từ đó ta có cách dựng:

Dựng điểm B’, C’ sao cho $\overrightarrow{BB\text{'}}=\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{AG}$

Khi đó ta được ảnh của tam giác $\text{ABC}$ qua $T_{\overrightarrow{AG}}$ là tam giác GB’C’.

$T_{\overrightarrow{AG}}\left(D\right)=A\iff \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AG}\iff -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}\iff \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}$

Do đó A là trung điểm của DG thì phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AG}$ biến D thành A (hình vẽ).

Cách khác:

Cách trên ta sử dụng cách dựng trực tiếp, dưới đây ta trình bày cách dựng hình bằng cách đoán rồi chứng minh hình có được là hình cần tìm.

- Dựng hình bình hành ABB'G và ACC'G.

Khi đó ta có $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BB\text{'}}=\overrightarrow{CC\text{'}}$.

Suy ra 

Do đó ảnh của tam giác  qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AG}$ là tam giác GB'C'.

Trên tia GA lấy điểm  sao cho  là trung điểm của GD.

Khi đó ta có $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AG}$. Do đó, $T_{\overrightarrow{AG}}\left(D\right)=A$