Tìm phương trình của parabol (P): y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0), biết: Parabol (P) có trục đối xứng

Giải Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Bài 4 trang 13 Chuyên đề Toán 10: Tìm phương trình của parabol (P): y = ax² + bx + c (a ≠ 0), biết:

a) Parabol (P) có trục đối xứng x = 1 và đi qua hai điểm A(1; –4), B(2; –3);

b) Parabol (P) có đỉnh I$\left(\frac{1}{2};\frac{3}{4}\right)$và đi qua điểm M(–1; 3).

Lời giải:

a) Theo đề bài ta có:

– (P) có trục đối xứng x = 1, suy ra $-\frac{b}{2a}$= 1, suy ra 2a + b = 0 (1).

– (P) đi qua điểm A(1; –4), suy ra –4 = a . 1² + b . 1 + c hay a + b + c = –4 (2).

– (P) đi qua điểm B(2; –3), suy ra –3 = a . 2² + b . 2 + c hay 4a + 2b + c = –3 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\begin{array}{l}2a+b=0\\ a+b+c=-4\\ 4a+2b+c=-3\end{array}.$

Giải hệ này ta được a = 1, b = –2, c = –3.

Vậy phương trình của (P) là y = x² – 2x – 3.

b) Theo đề bài ta có:

– (P) có có đỉnh I$\left(\frac{1}{2};\frac{3}{4}\right)$, suy ra $-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$hay a + b = 0 (1)

và $\frac{3}{4}=a{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+b.\frac{1}{2}+c$hay a + 2b + 4c = 3 (2).

– (P) đi qua điểm M(–1; 3), suy ra 3 = a . (–1)² + b . (–1) + c hay a – b + c = 3 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\begin{array}{l}a+b=0\\ a+2b+4c=3\\ a-b+c=3\end{array}.$

Giải hệ này ta được a = 1, b = –1, c = 1.

Vậy phương trình của (P) là y = x² – x + 1.