Cho các hệ phương trình: 2x - y + z = 1

Giải Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Khám phá 2 trang 8 Chuyên đề Toán 10: Cho các hệ phương trình:

(1) $\begin{array}{l}2x-y+z=1\\ 3y-z=2\\ 2z=3\end{array};$

(2) $\begin{array}{l}2x-y+z=1\\ 2y+z=-1\\ 2y-z=-4\end{array}.$

a) Hệ phương trình (1) có gì đặc biệt? Giải hệ phương trình này.

b) Biến đổi hệ phương trình (2) về dạng như hệ phương trình (1). Giải hệ phương trình (2).

Lời giải:

a) Các phương trình trong hệ (1) theo thứ tự có số ẩn giảm dần: phương trình thứ nhất có 3 ẩn, phương trình thứ hai có 2 ẩn và phương trình thứ ba có 1 ẩn.

Hệ phương trình có dạng như hệ phương trình (1) được gọi là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn dạng tam giác.

b) Trừ vế với vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ ba của hệ (2) ta được:

(2y + z) – (2y – z) = –1 – (–4) hay 2z = 3. Do đó hệ (2) tương đương với:

$\begin{array}{l}2x-y+z=1\\ 2y+z=-1\\ 2z=3\end{array}.$

Từ phương trình thứ ba, ta có: z = $\frac{3}{2}$

Thay z = $\frac{3}{2}$vào phương trình thứ hai ta được y = $\frac{-5}{4}$

Thay y = $\frac{-5}{4}$và z = $\frac{3}{2}$vào phương trình thứ nhất, ta được x = $-\frac{7}{8}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left(-\frac{7}{8};-\frac{5}{4};\frac{3}{2}\right).$