Chuyên đề Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Hypebol

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Hypebol

Giải bài tập trang 50, 51 Chuyên đề Toán 10 Bài 2

Khám phá 1 trang 50 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc (H) thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Ta có:

$\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$

nên các điểm có toạ độ M₁(–x₀; y₀), M₂(x₀; –y₀), M₃(–x₀; –y₀) cũng thuộc (H).

Thực hành 1 trang 51 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

Hypebol kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6, suy ra 2a = 8, 2b = 6, suy ra a = 4 và b = 3.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

Có c² = a² + b² = 4² + 3² = 25, suy ra c = 5.

Toạ độ các đỉnh của hypebol là A₁(–4; 0) và A₂(4; 0).

Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F₁(–5; 0) và F₂(5; 0).

Tiêu cự của hypebol là 2c = 10.

Độ dài trục thực là 2a = 8, độ dài trục ảo là 2b = 6.

Vận dụng 1 trang 51 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Khi x = 40 thì 

$\frac{{40}^2}{400}-\frac{y^2}{100}=1\Rightarrow \frac{y^2}{100}=3\Rightarrow y^2=300\Rightarrow \begin{array}{l}y=10\sqrt{3}\\ y=-10\sqrt{3}\end{array}$

$\Rightarrow$Bề rộng của thảm nhiễu là $20\sqrt{3}$(mile)

$\Rightarrow$Cao độ của máy bay là $\frac{20\sqrt{3}}{5}=4\sqrt{3}$≈ 6,93 (mlie)

Vậy cao độ của máy bay là khoảng 6,93 dặm.

Giải bài tập trang 52, 53 Chuyên đề Toán 10 Bài 2

Khám phá 2 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

a) Chứng minh rằng F₁M² – F₂M² = 4cx.

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₁(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₂ – MF₁ = 2a đã biết để chứng minh $M{F}_2+M{F}_1=-2\frac{cx}{a}$. Từ đó, chứng minh các công thức: $M{F}_1=-a-\frac{c}{a}x$; $M{F}_2=a-\frac{c}{a}x.$

c) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₂(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₁ – MF₂ = 2a đã biết để chứng minh $M{F}_2+M{F}_1=2\frac{cx}{a}$. Từ đó, chứng minh các công thức: $M{F}_1=a+\frac{c}{a}x$; $M{F}_2=-a+\frac{c}{a}x.$

Lời giải:

a) F₁M² = [x – (– c)]² + (y – 0)² = (x + c)² + y² = x² + 2cx + c² + y²;

F₂M² = (x – c)² + (y – 0)² = x² – 2cx + c² + y².

F₁M² – F₂M² = (x² + 2cx + c² + y²) – (x² – 2cx + c² + y²) = 4cx.

b) Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\Rightarrow$(MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\Rightarrow$(MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx

$\Rightarrow$MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$= –$\frac{2c}{a}$x. Khi đó:

c) Ta có:

Khi đó:

Thực hành 2 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$.

Lời giải:

Có a² = 64, b² = 36, suy ra a = 8, b = 6, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+36}$$=\sqrt{100}=10.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là:

Vận dụng 2 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) trên hypebol (H): $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Lời giải:

Độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) là:

A₂F₁ = $\left.a+\frac{c}{a}x\right|=\left.a+\frac{c}{a}a\right|$$=\left.a+c\right|=a+c$(vì a + c > 0 );

A₂F₂ = $\left.a-\frac{c}{a}x\right|=\left.a-\frac{c}{a}a\right|=$$\left.a-c\right|=c-a$(vì a – c < 0).

Khám phá 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Có

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>\sqrt{1}=1.$

Thực hành 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

a) $\left(H_1\right):\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$;

b) $\left(H_2\right):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}=1$;

c) $\left(H_3\right):\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3}=1$.

Lời giải:

a) Có a² = 4, b² = 1, suy ra a = 2, b = 1, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

$\Rightarrow$tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

b) Có a² = 9, b² = 25, suy ra a = 3, b = 5, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{31}$

$\Rightarrow$tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{31}}{3}.$

c) Có a² = 3, b² = 3, suy ra 

$\Rightarrow$tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}.$

Vận dụng 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}$. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Lời giải:

Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

Hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}\Rightarrow \frac{c}{a}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{2}\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{a^2}=2\Rightarrow a^2+b^2=2a^2\Rightarrow a^2=b^2\Rightarrow a=b\Rightarrow 2a=2b.$

Vậy trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Vận dụng 4 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

a) Lập phương trình chính tắc của (H).

b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

Lời giải:

a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho tiêu điểm F₂ của (H) trùng với tâm Mặt Trời, trục Ox đi qua đỉnh và tiêu điểm này của (H), đơn vị trên các trục là km.

Gọi phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

Gọi toạ độ của vật thể là M(x; y).

Áp dụng công thức bán kính qua tiêu, ta có: khoảng cách giữa vật thể và tâm Mặt Trời là MF₂ = $\left.a-\frac{c}{a}x\right|=\left.a-ex\right|$= ex – a ≥ ea – a (vì vật thể nằm ở nhánh bên phải trục Ox nên x ≥ a).

Như vậy khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là ea – a

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{{10}^{18}}-\frac{y^2}{0,{44.10}^{18}}=1.$

b) Bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ là:

MF₂ = $\left.a-\frac{c}{a}x\right|=\left.a-ex\right|$= |10⁹ – 1,2x| (km).

Giải bài tập trang 54, 55 Chuyên đề Toán 10 Bài 2

Khám phá 4 trang 54 Chuyên đề Toán 10:

Gọi d(M; Δ₁), d(M; Δ₂) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng Δ₁, Δ₂.

Ta có:

$\frac{M{F}_1}{d\left(M;{\Delta }_1\right)}=\frac{|a+ex|}{\left.x+\frac{a}{e}\right|}=\frac{|a+ex|}{\frac{|a+ex|}{e}}=e$.

Dựa theo cách tính trên, tính $\frac{M{F}_2}{d\left(M;{\Delta }_2\right)}$.

Lời giải:

Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ₂ ở dạng: $x+0y-\frac{a}{e}=0.$Với mỗi điểm M(x; y) thuộc hypebol, ta có:

$d\left(M,{\Delta }_2\right)=\frac{\left.x+0y-\frac{a}{e}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\left.x-\frac{a}{e}\right|.$

suy ra

$\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}=\frac{\left.a-ex\right|}{\left.x-\frac{a}{e}\right|}=\frac{\left.a-ex\right|}{\left.\frac{xe-a}{e}\right|}=e.$

Thực hành 4 trang 55 Chuyên đề Toán 10:

Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:

a) $\left(H_1\right):\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$

b) $\left(H_2\right):\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$

c) $\left(H_3\right):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=1$.

Lời giải:

a) Có a² = 4, b² = 1, suy ra c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

$\Rightarrow$Hai tiêu điểm của hypebol là $F_1\left(-\sqrt{5};0\right)$và $F_2\left(\sqrt{5};0\right)$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là

${\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0\iff x+\frac{4}{\sqrt{5}}=0.$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

${\Delta }_1:x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0\iff x-\frac{4}{\sqrt{5}}=0.$

b) Có a² = 36, b² = 64, suy ra c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{36+64}=10$

$\Rightarrow$Hai tiêu điểm của hypebol là $F_1\left(-10;0\right)$và $F_2\left(10;0\right)$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là

${\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0\iff x+\frac{36}{10}=0\iff x+\frac{18}{5}=0.$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

${\Delta }_1:x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0\iff x-\frac{36}{10}=0\iff x-\frac{18}{5}=0.$

c) Có a² = 9, b² = 9, suy ra c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$

$\Rightarrow$Hai tiêu điểm của hypebol là $F_1\left(-3\sqrt{2};0\right)$và $F_2\left(3\sqrt{2};0\right)$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là

${\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0\iff x+\frac{9}{3\sqrt{2}}=0\iff x+\frac{3}{\sqrt{2}}=0.$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

${\Delta }_1:x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0\iff x-\frac{9}{3\sqrt{2}}=0\iff x-\frac{3}{\sqrt{2}}=0.$

Vận dụng 5 trang 55 Chuyên đề Toán 10:

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng $\frac{288}{13}$.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 26, suy ra c = 13.

+) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng $\frac{288}{13}$, suy ra $2\frac{a}{e}=\frac{288}{13}$

$\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{144}{13}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{144}{13}\Rightarrow \frac{a^2}{13}=\frac{144}{13}\Rightarrow a^2=144\Rightarrow b^2=c^2-a^2={13}^2-144=25.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1.$

Bài 1 trang 55 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$.

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M\left(13;\frac{25}{12}\right)$trên $\left(H\right)$.

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm N(x; y) $\in$(H) sao cho NF₁ = 2NF₂ với F₁, F₂ là hai tiêu điểm của (H).

Lời giải:

a) Có a² = 144, b² = 25 $\Rightarrow$a = 12, b = 5, $c=\sqrt{a^2+b^2}=13.$

Tâm sau của (H) là e = $\frac{c}{a}=\frac{13}{12}.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M\left(13;\frac{25}{12}\right)$là:

MF₁ = $\left.a+\frac{c}{a}x\right|$$=\left.12+\frac{13}{12}.13\right|=\frac{313}{12};$

MF₂ = $\left.a-\frac{c}{a}x\right|=$$\left.12-\frac{13}{12}.13\right|=\frac{25}{12}.$

b) Hai tiêu điểm của hypebol là F₁(–13; 0) và F₂(13; 0).

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là

${\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0\iff x+\frac{144}{13}=0.$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

${\Delta }_1:x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0\iff x-\frac{144}{13}=0.$

c) 

+) x = $\frac{48}{13}$loại vì 0 < x < a.

+) x = $\frac{432}{13}$thì:

$\frac{{\left(\frac{432}{13}\right)}^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\Rightarrow y^2=\frac{32400}{169}\Rightarrow \begin{array}{l}y=\frac{180}{13}\\ y=-\frac{180}{13}\end{array}.$

Vậy có hai điểm N thoả mãn đề bài là N₁$\left(\frac{432}{13};\frac{180}{13}\right)$và N₂$\left(\frac{432}{13};-\frac{180}{13}\right)$

Bài 2 trang 55 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 20, suy ra c = 10.

+) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng $\frac{36}{5}$, suy ra $2\frac{a}{e}=\frac{36}{5}$

$\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{18}{5}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{18}{5}\Rightarrow \frac{a^2}{10}=\frac{18}{5}\Rightarrow a^2=36\Rightarrow b^2=c^2-a^2={10}^2-36=64.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1.$

Bài 3 trang 55 Chuyên đề Toán 10:

a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H).

b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).

Lời giải:

a) Gọi (C'; r') là đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C);

I(x; y) là tâm của đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C).

Vì F₂ nằm ngoài (C) nên (C') tiếp xúc ngoài với (C) hoặc (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C').

+) Nếu (C') tiếp xúc ngoài với (C) thì r' + r = IF₁ $\Rightarrow$IF₂ + r = IF₁ $\Rightarrow$IF₁ – IF₂ = r

+) Nếu (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C') thì r' – r = IF₁ $\Rightarrow$IF₂ – r = IF₁

$\Rightarrow$IF₂ – IF₁ = r.

Vậy ta luôn có |IF₂ – IF₁| = r trong cả hai trường hợp

$\Rightarrow$I nằm trên hypebol có hai tiêu điểm là F₁, F₂ và độ dài trục thực là r.

b) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của F₁F₂ và F₁, F₂ đều nằm trên trục Ox.

Giả sử phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

Khi đó ta có 2a = r, suy ra a = $\frac{r}{2}$

F₁F₂ = 4r, suy ra c = 2r, suy ra $b^2=c^2-a^2={\left(2r\right)}^2-{\left(\frac{r}{2}\right)}^2=\frac{15r^2}{4}.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{\frac{r^2}{4}}-\frac{y^2}{\frac{15r^2}{4}}=1.$

Bài 4 trang 55 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với tiêu điểm của F₁F₂, đơn vị trên các trục là km.

Giả sử phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

Gọi t₁ là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F₁; t₂ là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F₂, v là vận tốc sóng vô tuyến.

Theo đề bài ta có: |t₁ – t₂| = 0,0012

$\Rightarrow$|vt₁ – vt₂| = 0,0012v = 0,0012 . 300000 = 360 (km)

$\Rightarrow$|MF₁ – MF₂| = 360 với mọi vị trí của M

$\Rightarrow$2a = 360 $\Rightarrow$a = 180.

Có khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km $\Rightarrow$2c = 600 $\Rightarrow$c = 300

$\Rightarrow b^2=c^2-a^2$$={300}^2-{180}^2=57600.$

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{32400}-\frac{y^2}{57600}=1.$