Giải bài tập trang 52, 53 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập trang 52, 53 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 2 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

a) Chứng minh rằng F₁M² – F₂M² = 4cx.

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₁(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₂ – MF₁ = 2a đã biết để chứng minh $M{F}_2+M{F}_1=-2\frac{cx}{a}$. Từ đó, chứng minh các công thức: $M{F}_1=-a-\frac{c}{a}x$; $M{F}_2=a-\frac{c}{a}x.$

c) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₂(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₁ – MF₂ = 2a đã biết để chứng minh $M{F}_2+M{F}_1=2\frac{cx}{a}$. Từ đó, chứng minh các công thức: $M{F}_1=a+\frac{c}{a}x$; $M{F}_2=-a+\frac{c}{a}x.$

Lời giải:

a) F₁M² = [x – (– c)]² + (y – 0)² = (x + c)² + y² = x² + 2cx + c² + y²;

F₂M² = (x – c)² + (y – 0)² = x² – 2cx + c² + y².

F₁M² – F₂M² = (x² + 2cx + c² + y²) – (x² – 2cx + c² + y²) = 4cx.

b) Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\Rightarrow$(MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\Rightarrow$(MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx

$\Rightarrow$MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$= –$\frac{2c}{a}$x. Khi đó:

c) Ta có:

Khi đó:

Thực hành 2 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$.

Lời giải:

Có a² = 64, b² = 36, suy ra a = 8, b = 6, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+36}$$=\sqrt{100}=10.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là:

Vận dụng 2 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) trên hypebol (H): $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Lời giải:

Độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) là:

A₂F₁ = $\left.a+\frac{c}{a}x\right|=\left.a+\frac{c}{a}a\right|$$=\left.a+c\right|=a+c$(vì a + c > 0 );

A₂F₂ = $\left.a-\frac{c}{a}x\right|=\left.a-\frac{c}{a}a\right|=$$\left.a-c\right|=c-a$(vì a – c < 0).

Khám phá trang 53 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Có

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>\sqrt{1}=1.$

Thực hành 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

a) $\left(H_1\right):\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$;

b) $\left(H_2\right):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}=1$;

c) $\left(H_3\right):\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3}=1$.

Lời giải:

a) Có a² = 4, b² = 1, suy ra a = 2, b = 1, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

$\Rightarrow$tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

b) Có a² = 9, b² = 25, suy ra a = 3, b = 5, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{31}$

$\Rightarrow$tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{31}}{3}.$

c) Có a² = 3, b² = 3, suy ra 

$\Rightarrow$tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}.$

Vận dụng 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}$. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Lời giải:

Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

Hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}\Rightarrow \frac{c}{a}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{2}\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{a^2}=2\Rightarrow a^2+b^2=2a^2\Rightarrow a^2=b^2\Rightarrow a=b\Rightarrow 2a=2b.$

Vậy trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Vận dụng 4 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

a) Lập phương trình chính tắc của (H).

b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

Lời giải:

a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho tiêu điểm F₂ của (H) trùng với tâm Mặt Trời, trục Ox đi qua đỉnh và tiêu điểm này của (H), đơn vị trên các trục là km.

Gọi phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

Gọi toạ độ của vật thể là M(x; y).

Áp dụng công thức bán kính qua tiêu, ta có: khoảng cách giữa vật thể và tâm Mặt Trời là MF₂ = $\left.a-\frac{c}{a}x\right|=\left.a-ex\right|$= ex – a ≥ ea – a (vì vật thể nằm ở nhánh bên phải trục Ox nên x ≥ a).

Như vậy khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là ea – a

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{{10}^{18}}-\frac{y^2}{0,{44.10}^{18}}=1.$

b) Bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ là:

MF₂ = $\left.a-\frac{c}{a}x\right|=\left.a-ex\right|$= |10⁹ – 1,2x| (km).