Chuyên đề Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Tính chất chung của ba đường conic

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 4: Tính chất chung của ba đường conic

Giải bài tập trang 60, 61 Chuyên đề Toán 10 Bài 4

Khám phá 1 trang 60 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Những hình ảnh ta thấy trong các Hình 1c, 1d và 1e lần lượt là elip, hypebol và parabol.

Thực hành 1 trang 61 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

– Trong Hình 2b, giao của mặt phẳng và mặt nón là một đường elip và một đường tròn.

– Trong Hình 2c, giao của mặt phẳng và mặt nón là một đường hypebol.

Vận dụng 1 trang 61 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Vì máy bay bay song song với mặt đất nên giao của các lớp không khí dao động có hình mặt nón và mặt đất (mặt phẳng) là một đường hypebol. Do đó những người cùng đứng trên hypebol này sẽ nghe thấy tiếng nổ tại cùng thời điểm, và ngược lại, những người nghe thấy tiếng nổ này cùng một thời điểm thì họ cùng đứng trên đường hypebol này.

Khám phá 2 trang 61 Chuyên đề Toán 10:

Tìm mối liên hệ giữa tỉ số $\frac{MF}{d(M;\Delta )}$và tên gọi của đường conic.

Lời giải:

– Với elip, ta có $\frac{MF}{d(M;\Delta )}$= e < 1.

– Với parabol, ta có $\frac{MF}{d(M;\Delta )}$= e = 1.

– Với hypebol, ta có $\frac{MF}{d(M;\Delta )}$= e > 1.

Giải bài tập trang 63, 64 Chuyên đề Toán 10 Bài 4

Thực hành 2 trang 63 Chuyên đề Toán 10:

a) $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{2}=1$;

b) $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$;

c) $y^2=\frac{1}{2}x$.

Lời giải:

a) Đây là một elip.

Có a2 = 5, b2 = 2

$\Rightarrow a=\sqrt{5},b=\sqrt{2},c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3},$

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5},\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{15}}{5}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}.$

Suy ra elip có tiêu điểm F₁$\left(-\sqrt{3};0\right)$, đường chuẩn Δ₁: x = $-\frac{5\sqrt{3}}{3}$và tâm sai e = $\frac{\sqrt{15}}{5}.$

b) Đây là một hypebol.

Có a2 = 12, b2 = 4 

$\Rightarrow a=2\sqrt{3},b=2,c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4,$

$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{a}{e}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=3.$

Suy ra hypebol có tiêu điểm F₁$\left(-4;0\right)$, đường chuẩn Δ₁: x = –3 và tâm sai e = $\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

c) Đây là một parabol.

CÓ 2p = $\frac{1}{2}$, suy ra p = $\frac{1}{4}$

Suy ra parabol có tiêu điểm F$\left(\frac{1}{8};0\right),$đường chuẩn Δ: $x=-\frac{1}{8}$và tâm sai e = 1.

Vận dụng 2 trang 64 Chuyên đề Toán 10:

Tên	Tâm sai
Trái Đất	0,0167
Sao chổi Halley	0,9671
Sao chổi Great Southern of 1887	1,0
Vật thể Oumuamua	1,2

Lời giải:

Vì quỹ đạo của Trái Đất có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Sao chổi Halley có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Sao chổi Great Southern of 1887 có tâm sai bằng 1 nên là đường parabol.

Vì quỹ đạo của Vật thể Oumuamua có tâm sai lớn hơn 1 nên là đường hypebol.

Bài 1 trang 64 Chuyên đề Toán 10:

a) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{7}=1$;

b) $\frac{x^2}{15}-\frac{y^2}{10}=1$;

c) $y^2$ = x.

Lời giải:

a) Đây là một elip.

Có a2 = 9, b2 = 7 

$\Rightarrow a=3,b=\sqrt{7},c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-7}=\sqrt{2},$

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{3},\frac{a}{e}=\frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}.$

Suy ra elip có tiêu điểm F₁$\left(-\sqrt{2};0\right)$, đường chuẩn Δ₁: x = $-\frac{9\sqrt{2}}{2}$và tâm sai e = $\frac{\sqrt{2}}{3}.$

b) Đây là một hypebol.

Có a2 = 15, b2 = 10 

$\Rightarrow a=\sqrt{15},b=\sqrt{10},c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{15+10}=\sqrt{25}=5,$

$e=\frac{c}{a}=\frac{5}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{3},\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{15}}{3}}=3.$

Suy ra hypebol có tiêu điểm F₁(–5; 0), đường chuẩn Δ₁: x = –3 và tâm sai e = $\frac{\sqrt{15}}{3}.$

c) Đây là một parabol.

CÓ 2p = 1, suy ra p = $\frac{1}{2}$

Suy ra parabol có tiêu điểm F$\left(\frac{1}{4};0\right),$đường chuẩn Δ: $x=-\frac{1}{4}$và tâm sai e = 1.

Bài 2 trang 64 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d\left(M;\Delta \right)}=e$

Vậy phương trình của conic đã cho là y2 = 4x.

Bài 3 trang 64 Chuyên đề Toán 10:

a) (C) có tiêu điểm F(8; 0), đường chuẩn Δ: x – 2 = 0 và tâm sai e = 2;

b) (C) có tiêu điểm F(–4; 0), đường chuẩn $\Delta :x+\frac{25}{4}=0$và tâm sai $e=\frac{4}{5}$.

Lời giải:

a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: 

Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{48}=1.$

b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d\left(M;\Delta \right)}=e$

Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$

Bài 4 trang 64 Chuyên đề Toán 10:

Tên	Tâm sai
Sao Hoả	0,0934
Mặt Trăng	0,0549
Sao Thuỷ	0,2056
Sao chổi Ikeya-Seki	0,9999
C/2019 Q4	3,5

Lời giải:

Vì quỹ đạo của Sao Hoả có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Mặt Trăng có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Sao Thuỷ có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Sao chổi Ikeya-Seki có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo C/2019 Q4 có tâm sai lớn hơn 1 nên là đường hypebol.