Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: x - 2y = 1

Giải Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Thực hành 2 trang 11 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\begin{array}{l}x-2y=1\\ x+2y-z=-2\\ x-3y+z=3\end{array};$

b) $\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ x+2y-z=1\\ 2x-3y+3z=2\end{array};$

c) $\begin{array}{l}x-y+z=0\\ x-4y+2z=-1\\ 4x-y+3z=1\end{array}.$

Lời giải:

a) 

$\begin{array}{l}x-2y=1\\ x+2y-z=-2\\ x-3y+z=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ x-3y+z=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ y-z=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ -3z=-5\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+\frac{5}{3}=3\\ z=\frac{5}{3}\end{array}\iff \begin{array}{l}x-2\left(-\frac{1}{3}\right)=1\\ y=-\frac{1}{3}\\ z=\frac{5}{3}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=-\frac{1}{3}\\ z=\frac{5}{3}\end{array}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{5}{3}\right).$

b)

$\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ x+2y-z=1\\ 2x-3y+3z=2\end{array}\iff \begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 2x-3y+3z=2\end{array}\iff \begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 7y-5z=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 0y+0z=-3\end{array}.$

Phương trình thứ ba của hệ này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) 

$\begin{array}{l}x-y+z=0\\ x-4y+2z=-1\\ 4x-y+3z=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\\ 4x-y+3z=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\\ -3y+z=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\end{array}.$

Từ phương trình thứ hai, ta có z = 3y – 1, thay vào phương trình thứ nhất ta được x = –2y + 1.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–2y + 1; y; 3y – 1).