Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: 2x + 3y = 4

Giải Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Bài 2 trang 13 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\begin{array}{l}2x+3y=4\\ x-3y=2\\ 2x+y-z=3\end{array};$

b) $\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+3y+2z=8\\ 3x-y+z=4\end{array};$

c) $\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ 2x+y+4z=2\\ x+2y-z=4\end{array}.$

Lời giải:

a) 

$\begin{array}{l}2x+3y=4\\ x-3y=2\\ 2x+y-z=3\end{array}\iff \begin{array}{l}2x+3y=4\\ 3x=6\\ 2x+y-z=3\end{array}\iff \begin{array}{l}2.2+3y=4\\ x=2\\ 2x+y-z=3\end{array}\iff \begin{array}{l}y=0\\ x=2\\ 2x+y-z=3\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}y=0\\ x=2\\ 2.2+0-z=3\end{array}\iff \begin{array}{l}y=0\\ x=2\\ z=1\end{array}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; 0; 1).

b) 

$\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+3y+2z=8\\ 3x-y+z=4\end{array}\iff \begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 3x-y+z=4\end{array}\iff \begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 4y+2z=2\end{array}\iff \begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 2y+z=1\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x+y+z=2\\ -2y-z=-6\\ 0y+0z=-5\end{array}.$

Phương trình thứ ba của hệ này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) 

$\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ 2x+y+4z=2\\ x+2y-z=4\end{array}\iff \begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -3y+6z=-6\\ x+2y-z=4\end{array}\iff \begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -3y+6z=-6\\ -3y+6z=-6\end{array}\iff \begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -3y+6z=-6\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ -y+2z=-2\end{array}.$

Từ phương trình thứ hai, ta có y = 2z + 2, thay vào phương trình thứ nhất ta được x = –3z.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–3z; 2z + 2; z).