Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mặt phẳng BCD

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Video Giải Bài tập 3 trang 60 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 3 trang 60 SGK Toán lớp 11 Hình học:

a) Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD);

b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. Chứng minh B, M’, A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N;

c) Chứng minh GA = 3GA’.

Lời giải:

a) Trong mặt phẳng (ABN) gọi A’ là giao điểm của BN và AG.

Ta có $\begin{array}{l}A\text{'}\in AG\\ A\text{'}\in BN\subset \left(BCD\right)\end{array}$ suy ra $A’=AG\cap \left(BCD\right)$

b) Ta có: $\begin{array}{l}MM\text{'}\parallel \text{AA}\text{'}\\ \text{AA}\text{'}\subset \left(ABN\right)\\ M\in AB\subset \left(ABN\right)\end{array}$

Suy ra $MM\text{'}\subset \left(ABN\right)$

Suy ra $\begin{array}{l}M\text{'}\in \left(ABN\right)\\ M\text{'}\in \left(BCD\right)\end{array}$

Suy ra $M\text{'}\in \left(ABN\right)\cap \left(BCD\right)=BN$

Mà A’ cũng thuộc BN nên M’, A’, B thẳng hàng (cùng nằm trên BN)

Xét tam giác NMM’ có:

G là trung điểm của NM

GA’// MM’

Suy ra A’ là trung điểm của NM’ (1)

Xét tam giác BAA’ có:

M là trung điểm của AB

MM’//AA’

Suy ra M’ là trung điểm của BA’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra BM’ = M’A’ = A’N.

c) Ta có $MM\text{'}=\frac{1}{2}\text{AA}\text{'}$

$GA\text{'}=\frac{1}{2}MM\text{'}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\text{AA}\text{'}=\frac{1}{4}\text{AA}\text{'}\Rightarrow GA=\text{AA}\text{'}-GA\text{'}=\text{AA}\text{'}-\frac{1}{4}\text{AA}\text{'}=\frac{3}{4}\text{AA}\text{'}$

Suy ra $\frac{GA\text{'}}{GA}=\frac{\frac{1}{4}\text{AA}\text{'}}{\frac{3}{4}\text{AA}\text{'}}=\frac{1}{3}$

Vậy GA = 3GA’