Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữ phép nhân và phép khai phương

Bài 33 trang 10 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích:

a) $\sqrt{x^2-4}+2\sqrt{x-2}$

b) $3\sqrt{x+3}+\sqrt{x^2-9}$

Lời giải:

a) Để $\sqrt{x^2-4}+2\sqrt{x-2}$ có nghĩa khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}{x}^2-4\ge 0\\ x-2\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}\left(x-2\right)\left(x+2\right)\ge 0\\ x-2\ge 0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}x-2\ge 0\\ x+2\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 2\\ x\ge -2\end{array}\Rightarrow x\ge 2$

Biến đổi về dạng tích

$\sqrt{x^2-4}+2\sqrt{x-2}=\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+2\sqrt{x-2}=\sqrt{x-2}.\sqrt{x+2}+2\sqrt{x-2}=\sqrt{x-2}\left(\sqrt{x+2}+2\right)$

b) Để $3\sqrt{x+3}+\sqrt{x^2-9}$ có nghĩa khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}x+3\ge 0\\ x^2-9\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x+3\ge 0\\ \left(x+3\right)\left(x-3\right)\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x+3\ge 0\\ x-3\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge -3\\ x\ge 3\end{array}\Rightarrow x\ge 3$

Biến đổi về dạng tích

$3\sqrt{x+3}+\sqrt{x^2-9}=3\sqrt{x+3}+\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=3.\sqrt{x+3}+\sqrt{x+3}.\sqrt{x-3}=\sqrt{x+3}.\left(3+\sqrt{x-3}\right)$