So sánh

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữ phép nhân và phép khai phương

Bài 29 trang 9 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

$\sqrt{2003}+\sqrt{2005}$ và $2\sqrt{2004}$

Lời giải:

Ta có:

${\left(2\sqrt{2004}\right)}^2=4.2004=8016=4008+2.2004$

${\left(\sqrt{2003}+\sqrt{2005}\right)}^2=2003+2.\sqrt{2003.2005}+2005=4008+2\sqrt{2003.2005}$

Ta đi so sánh 2004 và $\sqrt{2003.2005}$

Ta có:

$\sqrt{2003.2005}=\sqrt{\left(2004+1\right)\left(2004-1\right)}=\sqrt{{2004}^2-1}$

$2004=\sqrt{{2004}^2}$

Do đó $2004>\sqrt{{2004}^2-1}$

$\Rightarrow 2004>\sqrt{2003.2005}\Rightarrow 2.2004+4008>4008+2.\sqrt{2005.2006}\Rightarrow {\left(2\sqrt{2004}\right)}^2>{\left(\sqrt{2003}+\sqrt{2006}\right)}^2\Rightarrow 2\sqrt{2004}>\sqrt{2003}+\sqrt{2005}\Rightarrow 4008+2.2004>4008+2\sqrt{2003.2005}$

Vậy $\sqrt{2003}+\sqrt{2005}$ < $2\sqrt{2004}$