So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữ phép nhân và phép khai phương

Bài 28 trang 9 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

a) $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ và $\sqrt{10}$    

b) $\sqrt{3}$ + 2 và  $\sqrt{2}$ + $\sqrt{6}$

c) 16 và  $\sqrt{15}$. $\sqrt{17}$ 

d) 8 và  $\sqrt{15}$ + $\sqrt{17}$

Lời giải:

a) $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ và $\sqrt{10}$

Ta có: ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2$

= 2 + 2$\sqrt{2}.\sqrt{3}$+ 3

= 2 + 2$\sqrt{6}$ + 3 = 5 + 2$\sqrt{6}$

${\left(\sqrt{10}\right)}^2$= 10 = 5 + 5

So sánh 2$\sqrt{6}$ và 5:

Ta có: ${\left(2\sqrt{6}\right)}^2$ = 2². ${\left(\sqrt{6}\right)}^2$ = 4.6 = 24

5² = 25

Vì 24 < 25 nên ${\left(2\sqrt{6}\right)}^2$ < 5² 

$\Rightarrow$ 2$\sqrt{6}$ < 5

$\Rightarrow$ 5 + 2$\sqrt{6}$ < 5 + 5

⇒  ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2$< ${\left(\sqrt{10}\right)}^2$

⇒ $\sqrt{2}+\sqrt{3}<\sqrt{10}$.

Vậy $\sqrt{2}+\sqrt{3}<\sqrt{10}$.

b) $\sqrt{3}$ + 2 và  $\sqrt{2}$ + $\sqrt{6}$

Ta có: ${\left(\sqrt{3}+2\right)}^2$ = 3 + 4$\sqrt{3}$ + 4

= 7 + 4$\sqrt{3}$

${\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2$ = 2 + 2$\sqrt{12}$ + 6

= 8 + 2$.\sqrt{4.3}$

= 8 + 2$.\sqrt{3}.\sqrt{4}$

= 8 + 4$\sqrt{3}$

Vì 7 + 4$\sqrt{3}$ < 8 + 4$\sqrt{3}$

 nên ${\left(\sqrt{3}+2\right)}^2<{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2$

$\Rightarrow$$\sqrt{3}$ + 2 và $\sqrt{2}$ + $\sqrt{6}$

Vậy $\sqrt{3}$ + 2 < $\sqrt{2}$ + $\sqrt{6}$.

c) 16 và $\sqrt{15}.\sqrt{17}$

Ta có: $\sqrt{15}.\sqrt{17}=\sqrt{16-1}.\sqrt{16+1}$

$\sqrt{\left(16-1\right)\left(16+1\right)}=\sqrt{{16}^2-1}$

Và $16=\sqrt{{16}^2}$

Vì ${16}^2-1<{16}^2\Rightarrow \sqrt{{16}^2-1}<\sqrt{{16}^2}$

Do đó: $\sqrt{17}.\sqrt{15}<16$

d) 8 và $\sqrt{15}$ + $\sqrt{17}$

Ta có: $8^2=64=32+32$

$={\left(\sqrt{15}+\sqrt{17}\right)}^2={\left(\sqrt{15}\right)}^2+2.\sqrt{15}.\sqrt{17}+{\left(\sqrt{17}\right)}^2=15+2\sqrt{15.17}+17=32+2\sqrt{15.17}$

Theo câu a ta có:

$16>\sqrt{15.17}\Rightarrow 2.16>2.\sqrt{15.17}\iff 32>2.\sqrt{15.17}\iff 32+32>32+2\sqrt{15.17}\iff 64>32+2\sqrt{15.17}\Rightarrow 8>\sqrt{15}+\sqrt{17}$

Vậy $8>\sqrt{15}+\sqrt{17}$.