Bài tập 4 trang 71 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải SGK Toán10Chân trời sáng tạoBài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập 4 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2

a) Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên.

b) Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm.

Lời giải:

a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Ta có: b = 8m và 2a = 20 m ⇒ a = 10 m

Vậy phương trình của elip (E) là: $\frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{8^2}=1$

b) Điểm A cách chân tường 5m nên A(5; 0). Ta có độ dài AB chính là khoảng cách từ điểm A đến nóc nhà vòm.

Gọi B(5; y). Vì B ∈ (E) nên thay tọa độ B vào phương trình (E), ta được: $\frac{5^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{8^2}=1$

⇒ y² = 48 ⇒ y = $\sqrt{48}$≈ 6,9 ⇒AB ≈ 6,9.

Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm khoảng 6,9 mét.

*Phương pháp giải:

Cho hai điểm cố định$F_1$và$F_2$và một độ dài không đổi 2a lớn hơn$F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho$F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm$F_1$và$F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi$F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho$F_1$(-c; 0) và$F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y)$\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1)với$b^2=a^2-c^2$

+ Tiêu cự:$F_1{F}_2=2c$

+ Tâm sai của (E):$e=\frac{c}{a}<1$

+$b^2=a^2-c^2$

*Lý thuyết:

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định$F_1$và$F_2$và một độ dài không đổi 2a lớn hơn$F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho$F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm$F_1$và$F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi$F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho$F_1$(-c; 0) và$F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y)$\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1)với$b^2=a^2-c^2$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

II. Các công thức

Từ các thông tin đề bài cho, ta tìm a, b dựa vào các công thức:

+ Hai tiêu điểm:$F_1$(-c; 0) và$F_2$(c; 0)

+ Bốn đỉnh:$A_1$(-a; 0),$A_2$(a; 0),$B_1$(0; -b) và$B_2$(0; b)

+ Độ dài trục lớn:${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a$

+ Độ dài trục nhỏ:$B_1{B}_2=2b$

+ Tiêu cự:$F_1{F}_2=2c$

+ Tâm sai của (E):$e=\frac{c}{a}<1$

+$b^2=a^2-c^2$

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định$F_1$và$F_2$và một độ dài không đổi 2a lớn hơn$F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho$F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm$F_1$và$F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi$F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho$F_1$(-c; 0) và$F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y)$\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1)với$b^2=a^2-c^2$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.