Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O'; r)

Giải Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài 8 trang 40 SGK Toán 12 Hình học: 

a)Gọi S₁ là diện tích xung quanh của hình trụ và S₂ là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$.

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Lời giải:

a) Hình trụ và hình nón đều có chiều cao $h=r\sqrt{3}$, bán kính đường tròn đáy là r.

- Hình nón có đường sinh:

$l=\sqrt{h^2\text{}+r^2}=\sqrt{3r^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{r}^2}=2r$

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

$S_1=2\pi rh=2\pi .r.r\sqrt{3}=2\pi r^2\sqrt{3}$

Diện tích xung quanh hình nón là:

$S_2=\pi rl=2\pi r^2$

Suy ra: $\frac{S_1}{S_2}=\frac{2\pi r^2\sqrt{3}}{2\pi r^2}=\sqrt{3}$

b)Thể tích của khối trụ là:

$V_{tru}=\pi r^{2}h=\pi r^2.r\sqrt{3}=\pi r^3\sqrt{3}$

Thể tích của khối nón là:

$V_{non}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}.\pi r^2.r\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}\pi r^3}{3}$

Thể tích của khối trụ nằm ngoài khối nón là:

$V\text{}=V_{tru}-V_{non}=\pi r^3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}\pi r^3}{3}=\frac{2\sqrt{3}\pi r^3}{3}$

Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành 2 phần; tỉ số thể tích hai phần đó là:

$\frac{V}{V_{non}}=\frac{2\sqrt{3}\pi r^3}{3}:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\sqrt{3}\pi r^3}{3}=2$.