Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r

Giải Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài 10 trang 40 SGK Toán 12 Hình học: 

Lời giải:

Gọi O, O' là tâm đường tròn đáy của hình trụ.

Gọi CC₁ và DD₁ là hai đường sinh của khối trụ.

Suy ra: D₁C₁  song song và bằng DC (vì tứ giác CC₁D₁D là hình bình hành).  (1)

Vì ABCD là hình vuông nên AB song song và bằng DC  (2).

Từ (1) và (2) suy ra: AB song song và bằng D₁C₁.

Suy ra, tứ giác ABC₁D₁ là hình bình hành.

Mặt khác ABC₁D₁ nội tiếp đường tròn (O) nên ABC₁D₁ là hình chữ nhật (vì hình bình hành mà nội tiếp được đường tròn phải là hình chữ nhật).

Suy ra AC₁ là đường kính của (O).

Suy ra: AC₁ = 2r.

Tam giác ABC₁ vuông ở B nên:

$B{C}_1^2=A{C}_1^2-\text{}A{B}^2=4r^2-A{B}^2\left(3\right)$

Vì tam giác BCC₁ vuông ở C₁ nên:

$B{C}_1^2=B{C}^2-C{C}_1^2=A{B}^2-r^2\left(4\right)$

Từ (3) và (4) suy ra:

4r² – AB² = AB² – r² nên $A{B}^2=\frac{5r^2}{2}$

Vậy diện tích hình vuông ABCD là

S = $A{B}^2=\frac{5r^2}{2}$

+ Gọi  là góc hợp bởi mp(ABCD) và mp đáy của hình trụ.

Ta có: S = S_ABCD = $A{B}^2=\frac{5r^2}{2}$

S’ = $S_{AB{C}_1{D}_1}$ = AB. BC₁

Với $B{C}_1=\sqrt{A{C}_1^2-A{B}^2}=\sqrt{{\left(2r\right)}^2-\frac{5r^2}{2}}=r\sqrt{\frac{3}{2}}$

$\Rightarrow S\text{'}=\frac{r\sqrt{10}}{2}.r\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{r^2}{2}.\sqrt{15}$

Mà ABC₁D₁ là hình chiếu của ABCD trên mặt đáy của hình trụ nên:

$S\text{'}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}S.c\text{os}\alpha \Rightarrow \text{ cos}\alpha \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}= \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{S\text{'}}{S}=\frac{r^2\sqrt{15}}{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{5r^2}{2}=\frac{\sqrt{15}}{5}$