Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r. căn 3

Giải Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài 7 trang 39 SGK Toán lớp 12 Hình học:

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30^o.Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh của hình trụ là:

$S_{xq}=2\pi rh=2\pi r.r\sqrt{3}=2\pi r^2\sqrt{3}$

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

$S_{tp}=S_{xq}+2S_{day}=2\pi r^2\sqrt{3}+\text{\hspace{0.17em}}2.\pi r^2=2\pi r^2(\sqrt{3}+1)$.

b) Thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho là:

$V=\pi r^{2}h=\pi .r^2.r\sqrt{3}=\pi .r^3\sqrt{3}$

c) Vẽ đường thẳng AA’// OO’

Ta có: (AB; OO’) = (AB; AA’) = $\widehat{B\text{}A\text{}A\text{}\text{'}}={30}^0$

Gọi M là trung điểm A’B.

Ta có:

$OM\perp A\text{'}B;OM\perp A\text{}A\text{'}\Rightarrow OM\perp (\text{}AA\text{'}B)$

Suy ra: d(O; (AA’B)) = OM.

+ Tính OM

Xét tam giác vuông AA’B có:

A’B = AA’. tan30⁰ = $r\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{3}=r$

$\Rightarrow A\text{'}M=\frac{A\text{'}B}{2}=\frac{r}{2}$

Xét tam giác OMA’ ta có:

$\begin{array}{l}O{M}^2=O{A}^2-MA{\text{'}}^2=r^2-{\left(\frac{r}{2}\right)}^2=\frac{3r^2}{4}\\ \Rightarrow OM=\frac{r\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Vì OO’ // AA’ nên:

d(OO’;  AB) = d(OO’; (AA’B)) 

= OM  = $\frac{r\sqrt{3}}{2}$.