Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm

Giải Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài 3 trang 39 SGK Toán lớp 12 Hình học:

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó.

Lời giải:

a) Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là:

$l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{{20}^2\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{25}^2}=\sqrt{1025}$

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là:

$S=\pi rl=\pi \mathrm{.25.}\sqrt{1025}\approx 800,39\pi c{m}^2$.

b) Ta có: thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}.\pi {25}^2.20=\frac{12500\pi }{3}c{m}^3$.

c) Gọi hình nón đã cho có đỉnh là S và H là tâm đường tròn đáy.

Thiết diện đi qua đỉnh S là tam giác SAC (với A và C thuộc đường tròn đáy)

Gọi M là trung điểm của AC.

Ta có: AC$\perp HM;AC\perp SH$

Suy ra: $AC\perp mp\left(SHM\right)$

Suy ra: $\left(SAC\right)\perp \left(SHM\right)$ và 2 mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là SM.

Trong mp(SHM) kẻ HI vuông góc SM.

Suy ra: $HI\perp \left(SAC\right)$

Do đó, d(H; (SAC)) = HI = 12

Trong tam giác vuông SHM ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{H{I}^2}=\frac{1}{S{H}^2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\frac{1}{H{M}^2}\\ \Rightarrow \frac{1}{H{M}^2}=\frac{1}{H{I}^2}-\frac{1}{S{H}^2}\\ \Rightarrow \frac{1}{H{M}^2}=\frac{1}{{12}^2}-\frac{1}{{20}^2}=\frac{1}{225}\\ \Rightarrow HM=15\end{array}$

Trong tam giác vuông HAM ta có:

AM² = HA² – HM² = 25² – 15² = 400

nên AM = 20 (cm)

Ta có: $\sin \widehat{HSM}=\frac{HM}{SM}=\frac{HI}{SH}$

Suy ra: $SM=\frac{HM.SH}{HI}=\frac{15.20}{12}=25$

Do đó, diện tích thiết diện SAC là:

$S_{SAC}=\frac{1}{2}AC.SM=AM.SM=20.25=500c{m}^2$.