Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân

Giải Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài 9 trang 40 SGK Toán 12 Hình học: 

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.

b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 60^o. Tính diện tích tam giác SBC.

Lời giải:

a) Ta có thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân SAB, cạnh huyền $AB=a\sqrt{2}$.

Đường cao hình nón là

$h=SO=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Đường sinh

$l=SA\text{}=a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=a$

Bán kính: $r=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Diện tích xung quanh của hình nón:

$S_{xq}=\pi rl=\pi \frac{a\sqrt{2}}{2}.a=\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{2}$

Diện tích toàn phần;

$S_{tp}=S_{xq}+\text{}{S}_{day}=\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\pi r^2$

Thể tích hình nón:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi a^3\sqrt{2}}{12}$

b) Gọi M là trung điểm của BC nên OM $\perp$ BC tại M (tam giác OBC cân tại O).

Ta có:

$SO\perp BC;OM\perp BC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\Rightarrow BC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\perp mp\left(SMO\right)\Rightarrow BC\perp SM\left(1\right)$

Vì 2 mp (SMO) và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến là SM  (2).

Từ (1) và (2) suy ra: góc giữa 2 mp (SMO) và (SBC) là $\widehat{SMO}={60}^0$ 

Xét tam giác SMO có:

$SO=SM.\sin \widehat{SMO}\Rightarrow SM=\frac{SO}{\sin \widehat{SMO}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sin 60°}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$OM=SO.\cot \widehat{SMO}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\cot 60°=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

+ Xét tam giác OBM vuông tại M có:

$BM=\sqrt{O{B}^2-O{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)}^2}=\frac{a}{\sqrt{3}}$

Suy ra: BC = 2 BM $=\frac{2a}{\sqrt{3}}$

Diện tích tam giác SBC là :

$S=\frac{1}{2}SM.BC=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{a^2\sqrt{2}}{3}$