Dùng tính chất cơ bản của phân thức, chứng minh x^4-1/x-1=x^3+x^2+x+1

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Bài tập 6.6 trang 6 SBT Toán 8 Tập 2: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, chứng minh $\frac{x^4-1}{x-1}=x^3+x^2+x+1$

Lời giải:

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x^4-1}{x-1}$ là x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1.

Với điều kiện trên, ta có:

$\frac{x^4-1}{x-1}=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}{x-1}$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right):\left(x-1\right)}{\left(x-1\right):\left(x-1\right)}$

$=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=x^3+x^2+x+1$