Dùng hệ thức Vi–ét để tìm nghiệm x2 của phương trình

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Đồ thị của hàm số $y=a{x}^2\left(a\ne 0\right)$

Bài 40 trang 57 SBT Toán 9 Tập 2:Dùng hệ thức Vi–ét để tìm nghiệm x₂ của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:

a) Phương trình x² + mx – 35 = 0 có nghiệm x₁ = 7

b) Phương trình x² – 13x + m = 0 có nghiệm x₁ = 12,5

c) Phương trình 4x² + 3x – m² + 3m = 0 có nghiệm x₁ = –2

d) Phương trình 3x² – 2(m – 3)x + 5 = 0 có nghiệm x₁ =$\frac{1}{3}$

Lời giải:

a) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁x₂ =$\frac{c}{a}=$–35

Suy ra 7x₂ = –35 ⇔ x₂ = –5

Cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁ + x₂ =$\frac{-b}{a}=$ –m

Suy ra: m = –7 + 5 ⇔ m = –2

Vậy với m = –2 thì phương trình x² + mx – 35 = 0 có hai nghiệm x₁ = 7, x₂ = –5

b) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁ + x₂ =$\frac{-b}{a}=$13

Suy ra 12,5 + x₂ = 13 ⇔ x₂ = 0,5

Cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁x₂ =$\frac{c}{a}=$m

Suy ra: m = 12,5.0,5 ⇔ m = 6,25

Vậy với m = 6,25 thì phương trình x² – 13x + m = 0 có hai nghiệm

x₁ = 12,5 ,x₂ = 0,5

c) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁ + x₂ =$\frac{-b}{a}=$$\frac{-3}{4}$

Suy ra: –2 + x₂ = $\frac{-3}{4}$⇔ x₂ = $\frac{-3}{4}$+ 2 =$\frac{5}{4}$

Cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁x₂ =  $\frac{c}{a}=\frac{-m^2+3m}{4}$

Suy ra: –2. $\frac{5}{4}$=$\frac{-m^2+3m}{4}$ ⇔ m² – 3m – 10 =0

Δ= (–3)² – 4.1.(–10) = 9 + 40 = 49

$m_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{3+\sqrt{49}}{2}=5$

$m_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{3-\sqrt{49}}{2}=-2$

Vậy với m = 5 hoặc m = –2 thì phương trình 4x² + 3x – m² + 3m = 0 có hai nghiệm $x_1=-2;x_2=\frac{5}{4}$.

d) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁x₂ =$\frac{5}{3}$

Suy ra:$\frac{1}{3}$.x₂ = $\frac{5}{3}$⇔ x₂ =$\frac{5}{3}$: $\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$.3 = 5

cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁ + x₂ =$\frac{2\left(m-3\right)}{3}$

Suy ra:  $\frac{1}{3}$+ 5 =$\frac{2\left(m-3\right)}{3}$ ⇔ 2(m – 3) = 16 ⇔ m– 3 = 8 ⇔ m = 11.

Vậy với m = 11 thì phương trình 3x² –2(m –3)x +5 =0 có hai nghiệm x₁ = 1/3 , x₂ = 5.