Cho phương trình Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Đồ thị của hàm số $y=a{x}^2\left(a\ne 0\right)$

Bài 4 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2:Cho phương trình

  $\left(2m-1\right)x^2-2\left(m+4\right)x+5m+2=0$ $\left(m\ne \frac{1}{2}\right)$

a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b) Khi phương trình có nghiệm x₁, x₂, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Lời giải:

Phương trình $\left(2m-1\right)x^2-2\left(m+4\right)x+5m+2=0$  $\left(m\ne \frac{1}{2}\right)$(1)

a) Ta có: $\Delta \text{'}={\left(m+4\right)}^2-\left(2m-1\right)\left(5m+2\right)$

$=m^2+8m+16-10m^2-4m+5m+2$

$=-9m^2+9m+18$

$=-9\left(m^2-m-2\right)$

$=-9\left(m-2\right)\left(m+1\right)$

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta \text{'}\ge 0$

$\Rightarrow -9\left(m-2\right)\left(m+1\right)\ge 0$

$\iff \left(m-2\right)\left(m+1\right)\le 0$

Trường hợp 1: $\begin{array}{l}m-2\ge 0\\ m+1\le 0\end{array}\iff \begin{array}{l}m\ge 2\\ m\le -1\end{array}$(vô lí)

Trường hợp 2: $\begin{array}{l}m+1\ge 0\\ m-2\le 0\end{array}\iff \begin{array}{l}m\ge -1\\ m\le 2\end{array}\Rightarrow -1\le m\le 2$

Vậy với $-1\le m\le 2$thì phương trình (1) co nghiệm.

b) Phương trình có hai nghiệm x₁, x₂. Theo hệ thức Vi – ét ta có:

$x_1+x_2=\frac{2\left(m+4\right)}{2m-1};x_1.x_2=\frac{5m+2}{2m-1}$

c) Đặt $x_1+x_2=S;x_1.x_2=P$

$S=\frac{2\left(m+4\right)}{2m-1}$

$\iff 2mS-S=2m+8$

$\iff 2m\left(S-1\right)=S+8$

Ta có: $2m+8\ne 2m-1\Rightarrow S\ne 1$

$\Rightarrow m=\frac{S+8}{2\left(S-1\right)}$

Thay vào biểu thức P ta có: $P=\frac{5.\frac{S+8}{2\left(S-1\right)}+2}{2.\frac{S+8}{2\left(S-1\right)}-1}$

$=\frac{5.S+40+4S-4}{2S+16-2S+2}$

$=\frac{9S+36}{18}=\frac{S+4}{2}$

$\Rightarrow 2P=S+4\Rightarrow 2P-S=4$

$\Rightarrow 2x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)=4$

Biểu thức không phụ thuộc vào m.