Cho phương trình x^2 + px – 5 = 0 có hai nghiệm x1 và x2

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Đồ thị của hàm số $y=a{x}^2\left(a\ne 0\right)$

Bài 43 trang 58 SBT Toán 9 Tập 2:Cho phương trình x² + px – 5 = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a)  $-x_1$và $-x_2$

b)  $\frac{1}{x_1}$và $\frac{1}{x_2}$

Lời giải:

a) Phương trình x₂ + px – 5 = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂ nên theo hệ thức Vi–ét ta có:

x₁ + x₂ = $\frac{-p}{1}$= –p; x₁x₂ = $\frac{-5}{1}$= –5     (1)

Hai số –x₁ và –x₂ là nghiệm của phương trình:

[x – (–x₁)][x – (–x₂)] =0

⇔ x² – (–x₁x) – (–x₂x) + (–x₁)(–x₂) =0

⇔ x² + x₁x + x₂x + x₁x₂ =0

⇔ x² + (x₁ + x₂ )x + x₁x₂ =0     (2)

Từ (1) và (2) ta có phuơng trình cần tìm là x² – px – 5 =0

b) Hai số $\frac{1}{x_1}$và $\frac{1}{x_2}$là nghiệm của phương trình:

$\left(x-\frac{1}{x_1}\right)\left(x-\frac{1}{x_2}\right)=0$

    $\iff x^2-\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)x+\frac{1}{x_1.x_2}=0$(3)

$\iff x^2-\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}x+\frac{1}{x_1.x_2}=0$

Từ (1) và (2) ta có phương trình cần tìm là:

$x^2-\frac{-p}{-5}x+\frac{1}{-5}=0$

$\iff x^2-\frac{p}{x}-\frac{1}{5}=0$