Dùng định lý Vi – ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Đồ thị của hàm số $y=a{x}^2\left(a\ne 0\right)$

Bài 3 trang 58 SBT Toán 9 Tập 2:Dùng định lý Vi – ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức ax² + bx + c có hai nghiệm x₁, x₂ thì nó phân tích được thành ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)

Áp dụng:

Phân tích các tam thức sau thành tích:

a) $x^2-11x+30$

b) $3x^2+14x+8$

c) $5x^2+8x-4$

d) $x^2-\left(1+2\sqrt{3}\right)x-3+\sqrt{3}$

Lời giải:

Theo hệ thức Vi – et ta có:

  $x_1+x_2=\frac{-b}{a};x_1.x_2=\frac{c}{a}$(1)

 $a{x}^2+bx+x=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$(2)

Từ (1) và (2) ta có:

$a{x}^2+bx+c=a\left.x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1.x_2\right]$

$=a\left.x^2-x_{1}x-x_{2}x+x_1.x_2\right]$

$=a\left.x\left(x-x_1\right)-x_1\left(x-x_1\right)\right]$

$=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

Áp dụng:

a) $x^2-11x+30$= 0

$\Delta ={\left(-11\right)}^2-\mathrm{4.1.30}=121-120=1>0$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{11+1}{2.1}=6;x_2=\frac{11-1}{2.1}=5$

Ta có:  $x^2-11x+30$= (x – 5)(x – 6)

b)  $3x^2+14x+8$= 0

$\Delta \text{'}=7^2-3.8=49-24=25>0$

$\sqrt{\Delta \text{'}}=\sqrt{25}=5$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-7+5}{3}=\frac{-2}{3};x_1=\frac{-7-5}{3}=-4$

Ta có:  $3x^2+14x+8$=$3\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+4\right)=\left(3x+2\right)\left(x+4\right)$

c)  $5x^2+8x-4$= 0

$\Delta \text{'}=4^2-5\left(-4\right)=16+20=36>0$

$\sqrt{\Delta \text{'}}=\sqrt{36}=6$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-4-6}{5}=-2$;$x_1=\frac{-4+6}{5}=\frac{2}{5}$

Ta có:  $5x^2+8x-4$=$5\left(x+2\right)\left(x-\frac{2}{5}\right)=\left(5x-2\right)\left(x+2\right)$

d) $x^2-\left(1+2\sqrt{3}\right)x-3+\sqrt{3}$= 0

$\Delta =\left.-{\left(1+2\sqrt{3}\right)}^2\right]-4.1\left(-3+\sqrt{3}\right)$

=$1+4\sqrt{3}+12+12-4\sqrt{3}=25>0$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{1+2\sqrt{3}+5}{2.1}=3+\sqrt{3};x_2=\frac{1+2\sqrt{3}-5}{2.1}=\sqrt{3}-2$

Ta có: $x^2-\left(1+2\sqrt{3}\right)x-3+\sqrt{3}$

= $\left.x-\left(3+\sqrt{3}\right)\right]\left.x-\left(\sqrt{3}-2\right)\right]$

= $\left(x-3-\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}+2\right)$